Bài 1.5 trang 153 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \[n \to + \infty \]
a] \[{a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\];
b] \[{b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\];
c] \[{c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\];
d] \[{d_n} = {{{{\left[ {2 - 3n} \right]}^3}{{\left[ {n + 1} \right]}^2}} \over {1 - 4{n^5}}}\];
e] \[{u_n} = {2^n} + {1 \over n}\];
f] \[{v_n} = {\left[ { - {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right]^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\];
g] \[{u_n} = {{{3^n} - {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\];
h] \[{v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} } \over {n + 3}}\];
Giải :
a] -3 ; b] +; c] 0 ; d] \[{{27} \over 4}\];
e] \[\lim \left[ {{2^n} + {1 \over n}} \right] = \lim {2^n}\left[ {1 + {1 \over n}.{1 \over {{2^n}}}} \right] = + \infty \];
f] 0 ; g] \[- {1 \over 2}\]; h] - 1 ;
Bài 1.6 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính các giới hạn sau :
a] \[\lim \left[ {{n^2} + 2n - 5} \right]\];
b] \[\lim \left[ { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right]\];
c] \[\lim \left[ {{4^n} + {{\left[ { - 2} \right]}^n}} \right]\];
d] \[\lim n\left[ {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right]\]
Giải:
a] + ;
b] - ;
c] + ;
d] \[- {3 \over 2}\];
Bài 1.7 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho hai dãy số [un] và [vn]. Chứng minh rằng nếu \[\lim {v_n} = 0\]và \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]với mọin thì \[\lim {u_n} = 0\]
Giải :
\[\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi [1]
Vì \[\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\]và \[{v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin, nên \[\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\]với mọin. [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\left| {{u_n}} \right|\]cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \[\lim {u_n} = 0\]
Bài 1.8 trang 154 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Biết \[\left| {{u_n} - 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\].Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]?
Giải:
\[\lim {u_n} = 2\]