Bài 6 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao
Gọi \[Đ\] là phép đối xứng qua mặt phẳng \[[P]\] và \[a\] là một đường thắng nào đó. Giả sử \[Đ\] biến đường thẳng \[a\] thành đường thẳng \[a\]. Trong trường hợp nào thì :
a] \[a\] trùng với \[a'\];
b] \[a\] song song với \[a'\];
c] \[a\] cắt \[a'\];
d] \[a\] và \[a'\] chéo nhau ?
Giải
a] \[a\] trùng với \[a\] khi \[a\] nằm trên mp\[[P]\] hoặc \[a\] vuông góc với mp\[[P]\]
b] \[a\] song song với \[a\] khi \[a\] song song với mp\[[P]\].
c] \[a\] cắt \[a\] khi \[a\] cắt \[mp[P]\] nhưng không vuông góc với \[mp[P]\].
d] \[a\] và \[a\] không bao giờ chéo nhau.
Bài 7 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao
Tìm các mặt phẳng đối xứng của các hình sau đây :
a] Hình chóp tứ giác đều ;
b] Hình chóp cụt tam giác đều ;
c] Hình hộp chữ nhật mà không có mặt nào là hình vuông.
Giải
a]
Các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] là các mặt phẳng:
- Mp\[[SAC]\]
- Mp\[[SBD]\]
- Mặt phẳng trung trực của đoạn \[AB\].
- Mặt phẳng trung trực của đoạn \[AD\].
b]
Hình chóp cụt tam giác đều \[ABC.ABC\] có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \[AB, BC, CA\].
c]
Hình hộp chữ nhật \[ABCD.ABCD\] [mà không có mặt nào là hình vuông] có ba mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \[AB, AD, AA\].
Bài 8 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Chứng minh rằng :
a] Các hình chóp \[A.A'B'C'D'\] và \[C.ABCD\] bằng nhau ;
b] Các hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] và \[AA'D'.BB'C'\] bằng nhau.
Giải
Gọi \[O\] là tâm của hình lập phương.
a] Phép đối xứng tâm \[O\] biến các đỉnh của hình chóp \[A.ABCD\] thành các đỉnh của hình chóp \[C.ABCD\].
Vậy hai hình chóp đó bằng nhau.
b] Phép đối xứng qua mp\[[ADCB]\] biến các đỉnh của hình lăng trụ \[ABC.ABC\] thành các đỉnh của lăng trụ \[AAD.BBC\] nên hai hình lăng trụ đó bằng nhau.
Bài 9 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Giải
a]
Giả sử \[{T_{\overrightarrow v }}\]là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \]
\[\eqalign{
& {T_{\overrightarrow v }}:\,M \to M' \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,N \to N' \cr} \]
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} = \overrightarrow v \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \]
\[\Rightarrow MN = M'N'\]
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
b]
Giả sử \[{\tilde N_d}\]là phép đối xứng qua đường thẳng \[d\]
Giả sử
\[{{\tilde N}_d}:M \to M'\]
\[N \to N'\]
Gọi \[H\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[MM\] và \[NN\].
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} = \left[ {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right] \cr&+ \left[ {\overrightarrow {M'H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right] = 2\overrightarrow {HK} \cr
& \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'}\cr& = \overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} \cr} \]
Vì \[\overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow {HK} \]và \[\overrightarrow {N'N} \bot HK\]nên
\[\eqalign{
& {\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} \cr&= \left[ {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} } \right]\left[ {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} } \right] \cr&= 2\overrightarrow {HK} \left[ {\overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} } \right] = 0 \cr
& \Rightarrow M{N^2} = M'N{'^2} \Rightarrow MN = M'N' \cr} \]
Vậy phép đối xứng qua \[d\] là phép dời hình.
c] Nếu phép đối xứng qua tâm \[O\] biến hai điểm \[M, N\] lần lượt thành hai điểm \[M, N\] thì \[\overrightarrow {OM'} = - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'} = - \overrightarrow {ON} \]
suy ra \[\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = - \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM} \]
\[\Rightarrow M'N' = MN\]
Vậy phép đối xứng tâm \[O\] là một phép dời hình.
Bài 10 trang 15 SGK Hình học 12 Nâng cao
Chứng minh rằng :
a] Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song \[[P]\] và \[[Q]\] là một phép tịnh tiến ;
b] Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng \[[P]\] và \[[Q]\] vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng.
Giải
a]
Lấy hai điểm \[A\] và \[B\] lần lượt nằm trên \[[P]\] và \[[Q]\] sao cho \[AB \bot \left[ P \right]\]. Với một điểm \[M\] bất kì, ta gọi \[{M_1}\] là điểm đối xứng với \[M\] qua mp\[[P]\] và \[M\] là điểm đối xứng với \[{M_1}\] qua mp\[[Q]\].
Như vậy \[M\] là ảnh của \[M\] qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp\[[P]\] và phép đối xứng qua mp\[[Q]\].
Gọi \[H\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[M{M_1}\]và \[{M_1}M'\]thì ta có:
\[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}M'} = 2\left[ {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right]\]
\[= 2\overrightarrow {HK} = 2\overrightarrow {AB} \]
Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ \[2\overrightarrow {AB} \].
b]
Giả sử \[\left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\]và \[d = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]\]
Gọi \[{M_1}\]là điểm đối xứng của \[M\] qua \[[P]\] và \[H\] là trung điêm của \[M{M_1}\].
Gọi \[M\] là điểm đối xứng của \[{M_1}\]qua \[[Q]\] và \[K\] là trung điểm của \[{M_1}M'\]
Gọi \[O\] là giao điểm của \[\left[ {M{M_1}M'} \right]\] với \[d\]
Ta có
\[\left[ {M{M_1}M'} \right] \bot \left[ P \right]\,\,;\]
\[\left[ {M{M_1}M'} \right] \bot \left[ Q \right] \Rightarrow \left[ {M{M_1}M'} \right] \bot d\]
Ta có \[OH{M_1}K\]là hình chữ nhật và
\[\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HM} + \overrightarrow {OK} + \overrightarrow {KM'}\]
\[ = \left[ {\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} } \right] + \left[ {\overrightarrow {{M_1}H} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right] \]
\[= \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}O} = \overrightarrow 0 \]
Suy ra \[O\] là trung điểm của \[MM\], mặt khác \[MM' \bot d\]. Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp\[[P]\] và phép đối xứng qua mp\[[Q]\] với \[\left[ P \right] \bot \left[ Q \right]\]là phép đối xứng qua đường thẳng \[d\].