Bài 5 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.
Giải:
Số cách rút ra 13 con bài là \[C_{52}^{13}\].Như vậy \[n\left[ \Omega \right] = C_{52}^{13}\]
Kí hiệuA : Trong 13 con bài có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.
Ta có \[n\left[ A \right] = C_{13}^4.C_9^3.C_6^3 = {{13!} \over {4!{{\left[ {3!} \right]}^3}}}\]
Vậy \[P\left[ A \right] = {{13!} \over {4!{{\left[ {3!} \right]}^3}.C_{52}^{13}}} \approx 0,000002\]
Bài 6 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Giả sử A và B là hai biến cố \[{{P\left[ {A \cup B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} = a\].Chứng minh rằng
a] \[{{P\left[ {A \cap B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} = 1 - a;\]
b] \[{1 \over 2} \le a \le 1.\]
Giải:
a] Vì \[P\left[ {A \cap B} \right] = P\left[ A \right] + P\left[ B \right] - P\left[ {A \cup B} \right]\]nên
\[{{P\left[ {A \cap B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} = {{P\left[ A \right] + P\left[ B \right] - P\left[ {A \cup B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} = 1 - a.\]
b] Vì \[P\left[ {A \cup B} \right] = P\left[ A \right] + P\left[ B \right] - P\left[ {A \cap B} \right] \le P\left[ A \right] + P\left[ B \right]\]
Nên \[a = {{P\left[ {A \cup B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} \le 1\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Mặt khác, \[2P\left[ {A \cup B} \right] = P\left[ {A \cup B} \right] + P\left[ {A \cup B} \right] \ge P\left[ A \right] + P\left[ B \right]\]
Vậy \[a = {{P\left[ {A \cup B} \right]} \over {P\left[ A \right] + P\left[ B \right]}} \ge {1 \over 2}\]
Kết hợp với [1], ta có \[{1 \over 2} \le a \le 1\]
Bài 7 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho
a] Cả hai quả đều đỏ ;
b] Hai quả cùng màu ;
c] Hai quả khác màu.
Giải:
Kí hiệu A: Quả lấy từ hộp thứ nhất màuđỏ ;
B: Quả lấy từ hộp thứ hai màuđỏ.
Ta thấy A và B độc lập.
a] Cần tính \[P\left[ {A \cap B} \right]\].
Ta có: \[P\left[ {A \cap B} \right] = P\left[ A \right]P\left[ B \right] = {3 \over 5}.{4 \over {10}} = 0,24\]
b] Cần tính xác suất của \[C = \left[ {A \cap B} \right] \cup \left[ {\overline A \cap \overline B } \right]\]
Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có
\[\eqalign{
& P\left[ C \right] = P\left[ A \right]P\left[ B \right] + P\left[ {\overline A } \right]P\left[ {\overline B } \right] \cr
& {\rm{ }} = {3 \over 5}.{4 \over {10}} + {2 \over 5}.{6 \over {10}} = 0,48. \cr}\]
c] Cần tính \[P\left[ {\overline C } \right]\]. Ta có \[P\left[ {\overline C } \right] = 1 - P\left[ C \right] = 1 - 0,48 = 0,52\]
Bài 8 trang 77 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3, 5, 7, 9, 11 Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.
a] Mô tả không gian mẫu.
b] Xác định biến cố A: Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác và tính xác suất của A.
Giải:
a] gồm \[C_5^3 = 10\] bộ ba đoạn thẳng khác nhau trong số năm đoạn thẳng đã cho.
\[\Omega = \left\{ \matrix{
\left[ {3,5,7} \right];\left[ {3,7,9} \right];\left[ {3,9,11} \right];\left[ {5,7,9} \right];\left[ {5,7,11} \right]; \hfill \cr
\left[ {3,5,9} \right];\left[ {3,5,11} \right];\left[ {3,7,11} \right];\left[ {5,9,11} \right];\left[ {7,9,11} \right] \hfill \cr} \right\}\]
b] A gồm các bộ có tổng của hai số lớn hơn số còn lại.
\[A = \left\{ \matrix{
\left[ {3,5,7} \right];\left[ {3,7,9} \right];\left[ {3,9,11} \right]; \hfill \cr
\left[ {5,7,9} \right];\left[ {5,7,11} \right];\left[ {5,9,11} \right];\left[ {7,9,11} \right] \hfill \cr} \right\}\]
Ta có \[n\left[ A \right] = 7\]
Vậy \[P\left[ A \right] = {{n\left[ A \right]} \over {n\left[ \Omega \right]}} = {7 \over {10}} = 0,7\]