Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \[y = x^3\]:
a] Tại điểm có tọa độ \[[-1;-1]\];
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[2\];
c] Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = 3x^2\].
a] \[y' [-1] = 3\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[3\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \[[-1;-1]\] là \[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x+2\].
b] \[y' [2] = 12\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[12\]. Ngoài ra ta có \[y[2] = 8\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \[2\] là: \[ y - 8 = 12[x - 2]\]
hay \[y = 12x -16\].
c] Gọi \[x_0\] là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
\[y' [x_0]= 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrowx_0=±1\].
+] Với \[x_0= 1\] ta có \[y[1] = 1\], phương trình tiếp tuyến là
\[ y - 1 = 3[x - 1]\] hay \[y = 3x - 2\].
+] Với \[x_0= -1\] ta có \[y[-1] = -1\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - [-1] = 3[x - [-1]]\] hay \[y = 3x + 2\].
Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \[y = \frac{1}{x}\]:
a] Tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\]
b] Tại điểm có hoành độ bằng \[-1\];
c] Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\[ \frac{1}{4}\].
Giải:
Bằng định nghĩa ta tính được \[y' = - \frac{1}{x^{2}}\].
a] \[y' \left [ \frac{1}{2} \right ]= -4\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-4\]. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \[[ \frac{1}{2} ; 2]\]là \[y - 2 = -4[x - \frac{1}{2}]\] hay \[y = -4x + 4\].
b] \[y' [-1] = -1\]. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \[-1\]. Ngoài ra, ta có \[y[-1] = -1\]. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \[-1\] là \[y - [-1] = -[x - [-1]]\] hay \[y = -x - 2\].
c] Gọi \[x_0\]là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\[y' [x_0] = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{x_{0}^{2}} = - \frac{1}{4}\]\[\Leftrightarrow x_{0}^{2}= 4 \Leftrightarrowx_{0}=±2\].
Với \[x_{0}= 2\] ta có \[y[2] = \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}[x - 2]\] hay \[y = \frac{1}{4}x + 1\].
Với \[x_{0}= -2\] ta có \[y [-2] = - \frac{1}{2}\], phương trình tiếp tuyến là
\[y - \left [ -\frac{1}{2} \right ] = - \frac{1}{4}[x - [-2]]\] hay \[y = - \frac{1}{4}x -1\]
Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Một vật rơi tự do theo phương trình\[s = {1 \over 2}g{t^2}\], trong đó \[g 9,8\] m/s2 là gia tốc trọng trường.
a] Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t [t = 5s] đến \[t +t\], trong các trường hợp \[t = 0,1s;t = 0,05s;t = 0,001s\].
b] Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \[t = 5s\].
Giải:
a] Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ\[t\] đến\[t +t\] là
\[V_{tb}= \frac{s\left [ t+\Delta t \right ]-s\left [ t \right ]}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left [ t+\Delta t \right ]^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g[2t + \Delta t] \approx 4,9.[2t + \Delta t]\]
Với \[t=5\] và
+] \[t = 0,1\] thì \[v_{tb} 4,9. [10 + 0,1] 49,49 m/s\];
+] \[t = 0,05\] thì \[v_{tb} 4,9. [10 + 0,05] 49,245 m/s\];
+]\[t = 0,001\] thì \[v_{tb} 4,9. [10 + 0,001] 49,005 m/s\].
b] Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm\[t = 5s\] tương ứng với \[t = 0\] nên \[v4,9 . 10 = 49 m/s\].