Bài 5 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao
Bài 5. Cho đoạn thẳng \[AB\] và điểm \[I\] sao cho \[2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0\]
a] Tim số \[k\] sao cho \[\overrightarrow {AI} = k\overrightarrow {AB} \].
b] Chứng minh rằng với mọi điểm \[M\], ta có
\[\overrightarrow {MI} = {2 \over 5}\overrightarrow {MA} + {3 \over 5}\overrightarrow {MB} \].
Hướng dẫn trả lời
a] Ta có \[2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \,\, \Leftrightarrow \, - 2\overrightarrow {AI} + 3[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AI} ] = \overrightarrow 0 \]
\[ \Leftrightarrow - 5\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {AB} \,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = {3 \over 5}\overrightarrow {AB.} \,\]Vậy \[k = {3 \over 5}\].
b] Từ \[2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]suy ra với mọi điểm \[M\] ta có:
\[2[\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MI} ] + 3[\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MI} ] = \overrightarrow 0 \]
\[ \Rightarrow \,5\overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} \,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {MI} = {2 \over 5}\overrightarrow {MA} + {3 \over 5}\overrightarrow {MB} \]
Bài 6 trang 35 SGK Hình học 10 Nâng cao
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho ba điểm \[A[ - 1\,;3]\,,\,B[4\,;2]\,,\,C[3\,;5]\].
a] Chứng minh rằng ba điểm \[A, B, C\] không thẳng hàng.
b] Tìm tọa độ điểm \[D\] sao cho \[\overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {BC} \].
c] Tìm tọa độ điểm \[E\] sao cho \[O\] là trọng tâm tam giác \[ABE\].
Hướng dẫn trả lời
a] Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = [4 + \,1\,;\,2 - 3] = [5\,;\, - 1] \cr
& \overrightarrow {AC} = [3 + 1\,;\,5 - 3] = [4\,;\,2] \cr} \]
Vì \[{5 \over 4} \ne - {1 \over 2}\]nên \[\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {AC} \]không cùng phương. Do đó, \[A, B, C\] không thẳng hàng.
b] Giả sử \[D\,[{x_D}\,;\,{y_D}]\]. Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {BC} \,\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_D} + 1 = 3 \hfill \cr
{y_D} - 3 = - 9 \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = - 6 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \,\,D[2\,;\, - 6]. \cr} \]
C] Giả sử \[E[{x_E}\,;\,{y_E}]\]. Ta có
\[\eqalign{
& \,\left\{ \matrix{
0 = {1 \over 3}[ - 1 + 4 + {x_E}] \hfill \cr
0 = {1 \over 3}[3 + 2 + {y_E}] \hfill \cr} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \matrix{
{x_E} = - 3 \hfill \cr
{y_E} = - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \,\,E[ - 3\,;\, - 5]. \cr} \]