Bài 54 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận phương trình: \[m[mx 1] = x + 1\]
Giải
Ta có:
\[m[mx 1] = x + 1 [m^2 1]x = m + 1\]
+ Nếu \[m ± 1\] thì phương trình có nghiệm:
\[x = {{m + 1} \over {{m^2} - 1}} = {1 \over {m - 1}};\,\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over {m - 1}}{\rm{\} }}\]
+ Nếu \[m = 1\] thì [1] thành \[0x = 2; S = Ø\]
+ Nếu \[m = -1\] thì [1] thành \[0x = 0; S =\mathbb R\]
Bài 55 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho phương trình \[p[x + 1] - 2x = {p^2}+ p - 4\]. Tìm các giá trị của p để:
a] Phương trình nhận 1 làm nghiệm;
b] Phương trình có nghiệm;
c] Phương trình vô nghiệm.
Giải
a] \[x = 1\] là nghiệm phương trình:
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow 2p - 2 = {p^2} + p - 4 \Leftrightarrow {p^2} - p - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
p = - 1 \hfill \cr
p = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
b] Ta có: \[p[x + 1] 2x ={p^2}+ p 4 [p 2]x ={p^2} 4\]
+ Nếu \[p 2\]: phương trình có nghiệm \[x = p + 2\]
+ Nếu \[p = 2\]: phương trình có vô số nghiệm
Vậy với mọi p, phương trình luôn có nghiệm
c] Theo b] ta thấy: không có p nào thỏa mãn để phương trình vô nghiệm.
Bài 56 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao
Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng.
Giải
Gọi độ dài ngắn nhất là x [ điều kiện x nguyên dương]
Theo giả thiết, độ dài của hai cạnh kia là x + 1 và x + 2, trong đó cạnh huyền dài x + 2
Theo định lý Py-ta-go, ta có phương trình:
\[{x^2} + {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right]^2} = {\rm{ }}{\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2}\]
Phương trình này tương đương với:
\[{x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1\,\,\,[\text{loại}] \hfill \cr
x = 3\,\,\,\,\,\,[\text{thỏa mãn}]\hfill \cr} \right.\]
Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông là 3, 4 và 5.
Bài 57 trang 101 SGK Đại số 10 nâng cao
Cho phương trình \[[m - 1]x^2+ 2x - 1 = 0\]
a] Giải và biện luận phương trình.
b] Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.
c] Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.
Giải
a] Với \[m = -1\], phương trình có nghiệm là \[x = {1 \over 2}\]
Với \[m 1\], ta có: \[Δ = 1 + m 1 = m\]
Với m < 0, S = Ø
Với m = 0; S = {1}
Với m > 0; \[S = {\rm{\{ }}{{ - 1 - \sqrt m } \over {m - 1}};\,{{ - 1 + \sqrt m } \over {m - 1}}{\rm{\} }}\]
b] Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \[\Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow - {1 \over {m - 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\]
c] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \[1 m > 0\]
Theo định lý Vi-ét:
\[\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {2 \over {m - 1}} \hfill \cr
{x_1}{x_2} = - {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {[{x_1} + {x_2}]^2} - 2{x_1}{x_2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {4 \over {{{[m - 1]}^2}}} + {2 \over {m - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2[m - 1] = {[m - 1]^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 2 - \sqrt 5 \,\,\,\,[\text{loại}] \hfill \cr
m = 2 + \sqrt 5 \,\,\,\,,[\text{thỏa mãn}] \hfill \cr} \right. \cr} \]