Câu 45* trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn [O] có đường kính AH. Chứng minh rằng:
a] Điểm E nằm trên đường tròn[O];
b] DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Giải:
a] Gọi O là trung điểm của AH
Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên:
\[ EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông]
Vậy điểm E nằm trên đường tròn \[\left[ {O;{{AH} \over 2}} \right]\]
b] Ta có: OH = OE
suy ra tam giác OHE cân tại O
suy ra: \[\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\] [1]
Mà \[\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\] [đối đỉnh] [2]
Trong tam giác BDH ta có:
\[\widehat {HDB} = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
\[\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \] [4]
Tam giác ABC cân tại A có AD BC nên BD = CD
Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:
\[ED = BD = {{BC} \over 2}\] [tính chất tam giác vuông].
Suy ra tam giác BDE cân tại D
Suy ra: \[\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \] hay \[\widehat {DEO} = 90^\circ \]
Suy ra: DE EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn [[O].
Câu 46 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy.
Giải:
*Phân tích
Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A.
Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
*Cách dựng
Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I.
Dựng đường tròn [I; IA].
*Chứng minh
Ta có: I thuộc Oy, OA IA tại A.
Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn [ I;IA]
hay [I; IA] tiếp xúc với Ox.
* Biện luận
Vì \[\widehat {xOy}\]là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất.
Câu 47 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O] và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn [O] sao cho tiếp tuyến đó song song với d.
Giải:
*Phân tích
Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa
mãn điều kiện bài toán.
d1là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên d1OA
Vì d1// d nên d OA.
Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d.
*Cách dựng
Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn [O] tại A và B.
Dựng đường thẳng d1đi qua A và vuông góc với OA.
Dựng đường thẳng d2đi qua B và vuông góc với OB.
Khi đó d1và d2là hai tiếp tuyến cần dựng.
*Chứng minh
Ta có: A và B thuộc [O]
d1// d mà d OH nên d1OH hay d1OA tại A
Suy ra d1là tiếp tuyến của đường tròn [O]
d2// d mà d OH nên d2 OH hay d2 OB tại B
Suy ra d2là tiếp tuyến của đường tròn [O]
*Biện luận
Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn [O] nên giao điểm A và B luôn dựng được.