Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 54. Vẽ đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\]và \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]trên cùng một hệ trục tọa độ
a] Qua điểm \[B[0; 4]\] kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\]tại hai điểm M và M. Tìm hoành độ của M và M.
b] Tìm trên đồ thị của hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N có cùng hoành độ với M. Đường thẳng NN có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ:
- Tính toán theo công thức.
Giải:
Vẽ đồ thị hàm số:
* Hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\]và\[y = - {1 \over 4}{x^2}\]
- Tập xác định \[D = R\]
- Bảng giá trị
- Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\]và\[y = - {1 \over 4}{x^2}\]là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số \[y = {1 \over 4}{x^2}\]nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]nằm dưới trục hoành.
a] Đường thẳng qua \[B[0; 4]\] song song với \[Ox\] cắt đồ thị tại hai điểm \[M, M'\] [xem trên đồ thị]. Từ đồ thị ta có hoành độ của \[M\] là \[x = 4\], của \[M'\] là \[x = - 4\].
b] Trên đồ thị hàm số \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]ta xác định được điểm \[N\] và \[N\] có cùng hoành độ với \[M, M\]. ta được đường thẳng \[M, M\]
Tìm tung độ của \[N, N\]
- Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của \[N\] là \[y = - 4\]; của \[N\] là \[y = -4\]
- Tính toán theo công thức:
Điểm \[N\] trên \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]có \[x = 4\] nên \[y = - {1 \over 4}{.4^2} = - 4\]
Điểm \[N\] trên \[y = - {1 \over 4}{x^2}\]có \[x = 4\] nên \[y = - {1 \over 4}.{[ - 4]^2} = - 4\]
Vậy tung độ của \[N, N = -4\].
Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 55. Cho phương trình \[x^2 x 2 = 0\]
a] Giải phương trình
b] Vẽ hai đồ thị \[y = x^2\]và \[y = x + 2\] trên cùng một hệ trục tọa độ.
c] Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a] là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Hướng dẫn làm bài:
a] Giải phương trình: \[x^2 x 2 = 0\]
\[\Delta = [-1]^2 4.1.[-2] = 1 + 8 > 0\]
\[\sqrt\Delta= \sqrt9 = 3\]
\[\Rightarrow {x_1}= -1; {x_2}= 2\]
b] Vẽ đồ thị hàm số
- Hàm số \[y = x^2\]
+ Bảng giá trị:
- Hàm số \[y = x + 2\]
+ Cho \[x = 0 y = 2\] được điểm \[A[0;2]\]
+ Cho \[x = -2 y = 0\] được điểm \[B[-2;0]\]
Đồ thị hàm số:
c] Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_1} = - 1 \hfill \cr {x_2} = 2 \hfill \cr} \right.\]
Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \[x = -1; x= 2\]. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình \[x^2- x - 2 = 0\] ở câu a].
Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 56. Giải các phương trình:
a] \[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]
b] \[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]
c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]
Hướng dẫn làm bài:
a]\[3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình:
\[\eqalign{
& 3{t^2} - 12t + 9 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \cr} \]
Phương trình có \[a + b + c = 0\] nên có hai nghiệm \[{t_1}= 1; {t_2}= 3\] [đều thỏa mãn]
Với \[{t_1} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Với \[{t_2} = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3\]
b]\[2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình :
\[\eqalign{
& 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr
& \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr
& \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}[TM];{t_2} = - 2[loại] \cr}\]
Với \[t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\]
c] \[{x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\]
Đặt \[t = {x^2}\left[ {t \ge 0} \right]\]
Ta có phương trình :
\[t^2+ 5t + 1 = 0\]
\[\Delta = 25 2 = 21\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {t_1} = {{ - 5 + \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr
& {t_2} = {{ - 5 - \sqrt {21} } \over 2} < 0[loại] \cr} \]
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2
Bài 57. Giải các phương trình:
a] \[5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\]
b] \[{{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\]
c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\]
d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\]
e] \[2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right]\]
f] \[{x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right]\]
Hướng dẫn làm bài:
a]
\[\eqalign{
& 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr
& \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\]
Phương trình có \[a b + c = 1 + 1 2 = 0\] nên có 2 nghiệm \[{x_1}= -1; {x_2}= 2\]
b]
\[\eqalign{
& {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr
& \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr
& \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr} \]
c] \[{x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\] ĐKXĐ: \[x 0; x 2\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr
& \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr
& \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} [TM] \cr
& {x_2} = - 1 - \sqrt {11} [TM] \cr} \]
d] \[{{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\] ĐKXĐ: \[x \ne \pm {1 \over 3}\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr
& \Leftrightarrow \left[ {2{\rm{x}} + 1} \right]\left[ {3{\rm{x}} - 1} \right] = 14{\rm{x}} + 4 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr
& \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr
& \Delta = {[ - 13]^2} - 4.6.[ - 5] = 289 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}[TM] \cr
& {x_2} = - {1 \over 3}[loại] \cr} \]
e]
\[\eqalign{
& 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left[ {x + 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]x + 1 - \sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} - 8\sqrt 3 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] \cr
& = 15 - 2.5.\sqrt 3 + 3 = {\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]^2} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt 3 } \right]}^2}} = 5 - \sqrt 3 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr}\]
f]
\[\eqalign{
& {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left[ {x + \sqrt 2 } \right] \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {2\sqrt 2 - 3} \right]x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr
& \sqrt \Delta = 1 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr} \]