Câu 60 trang 86 Sách bài tập[SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC có\[\widehat A = {70^0}\], điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.
a. Chứng minh rằng AD = AE
b. Tính số đo góc DAE.
Giải:
a. Vì D đối xứng với M qua trục AB
AB là đường trung trực MD.
AD = AM [tính chất đường trung trực] [1]
Vì E đối xứng với M qua trục AC
AC là đường trung trực của ME
AM = AE [ tính chất đường trung trực] [2]
Từ [1] và [2] suy ra : AD = AE
b. AD = AM suy ra AMD cân tại A có AB MD
nên AB cũng là đường phân giác của góc MAD
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2}\]
AM = AE suy ra AME cân tại A có AC ME nên AC cũng là đường phân giác của \[\widehat {MAE}\]
\[ \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\]
\[\widehat {DAE} = {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\]
\[= 2\left[ {{{\widehat A}_2} + {{\widehat A}_3}} \right] = 2\widehat {BAC} = {2.70^0} = {140^0}\]
Câu 61 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho tam giác nhọn ABC có\[\widehat A = {60^0}\], trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a. Chứng minh BHC = BMC.
b. Tính \[\widehat {BMC}\]
Giải:
a. Vì M đối xứng với H qua trục BC
BC là đường trung trực của HM
BH = BM [ tính chất đường trung trực]
CH = CM [ tính chất đường trung trực]
Suy ra: BHC = BMC [c.c.c]
b. Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E
H là trực tâm của ABC
BD AC, CE AB
Xét tứ giác ADHE ta có:
\[\widehat {DHE} = {360^0} - \left[ {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right] \]
\[= {360^0} - \left[ {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right] = {120^0}\]
\[\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\] [đối đỉnh]
BHC = BMC [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\]
Suy ra: \[\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\]
Câu 62 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình thang vuông ABCD\[\left[ {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right]\]. Gọi điểm H la điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng \[\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\]
Giải:
B và H đối xứng qua AD.
I và A đối xứng với chính nó qua AD
Nên \[\widehat {AIB}\] đối xứng với \[\widehat {AIH}\] qua AD
\[ \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIH}\]
\[\widehat {AIH} = \widehat {DIC}\][ đối đỉnh]
Suy ra: \[\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\]
Câu 63 trang 87 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy [AB không vuông góc với xy]. Gọi A là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của AB và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.
Giải:
Vì A đối xứng với A qua xy
xy là đường trung trực của AA
CA = CA [tính chất đường trung trực]
MA = MA [tính chất đường trung trực]
AC + CB = AC + CB = AB [1]
MA + MB = MA + MB [2]
Trong MAB ta có:
AB < AM + MB [bất đẳng thức tam giác] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: AC + CB < AM + MB