Câu 96 trang 121 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a]Tính độ dài đoạn thẳng DE.
b]Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c]Tính diện tích tứ giác DENM.
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \]
\[HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \]
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: AH = DE [tính chất hình chữ nhật]
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
\[\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr
& \Rightarrow AH = 6\,[cm] \cr} \]
Vậy DE = 6 [cm]
b] * Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE [tính chất hình chữ nhật]
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có:
\[\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,[1]\]
\[\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,[2]\]
\[\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,[4]\]
Suy ra tam giác MDH cân tại M \[ \Rightarrow MD = MH\,[5]\]
Lại có: \[\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,[6]\]
\[\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \] [BDH vuong tại D] [7]
Từ [4], [6] và [7] suy ra: \[\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\]
Suy ra tam giác MBD cân tại M \[ \Rightarrow MB = MD\,[8]\]
Từ [5] và [8] suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.
*Tam giác GHE cân tại G
Ta có: \[\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,[9]\]
\[\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \] [10]
\[\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \] [11]
Từ [9], [10] và [11] suy ra: \[\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\] [12]
Suy ra tam giác NEH cân tại n \[ \Rightarrow NE = NH\] [13]
Lại có: \[\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \] [14]
\[\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \] [CEH vuông tại E] [15]
Từ [12], [14] và [15] suy ra: \[\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\]
Suy ra tam giác NCE cân tại N \[ \Rightarrow NC = NE\,[16]\]
Từ [13] và [16] suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
c]Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
\[DM = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,[cm]\]
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
\[EN = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,[cm]\]
Mà \[MD \bot DE\] và \NE \bot DE\] nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM là hình thang
Vậy
\[\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5 \cr} \] [cm2].
Câu 97 trang 121 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông ở A,$\widehat C = 30^\circ ,BC = 10cm.$
a]Tính AB, AC.
b]Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.
Chứng minh:
MN // BC và MN = AB.
c]Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Gợi ý làm bài
a] Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\[AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ = 10.{1 \over 2} = 5\,[cm]\]
\[AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ = 10.{{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,[cm]\]
b]Ta có:
\[BM \bot BN$[tính chất hai góc kề bù]$ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,[1]\]
\[AM \bot BM\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,[2]\]
\[AN \bot BN\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
Suy ra: AMB = NBM [c.g.c]
\[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\]
Mà \[\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,[gt]\]
Suy ra: \[\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\]
Suy ra MN // BC [có cặp so le trong bằng nhau]
Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN.
c]Tam giác ABC vuông tại A nên \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \]
Suy ra: \[\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Suy ra: \[\widehat {ABM} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \]
Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:
\[\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \]
\[\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \]
Suy ra ABC đồng dạng với MAB [g.g]
Tỉ số đồng dạng: \[k = {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\]
Câu 98 trang 122 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho tam giác AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a] Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc \[\widehat B,\widehat C\]. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc và đường cao AH của tam giác.
b]Tìm tập hợp các điểm M sao cho \[{S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\]
Gợi ý làm bài
a] Ta có:
\[A{B^2} = {6^2} = 36\]
\[A{C^2} = 4,{5^2} = 20,25\]
\[B{C^2} = 7,{5^2} = 56,25\]
Vì \[A{B^2} + A{C^2} = 36 + 20,25 = 56,25 = B{C^2}\] nêntam giác ABC vuông tại A [ theo định lí Pi-ta-go].
Kẻ \[AH \bot BC\]
Ta có: \[AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.4,5} \over {7,5}} = 3,6\,[cm]\]
\[\sin \widehat C = {{AC} \over {BC}} = {{4,5} \over {7,5}} = 0,6\]
Suy ra: \[\widehat C = 58^\circ 8'\]
Ta có:
\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\]
b] Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời \[{S_{ABC}} = {S_{MBC}}\]nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.
Câu 99 trang 122 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:
a] ANL đồng dạng ABC;
b] AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
Gợi ý làm bài
a]Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:
\[\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \]
\[\widehat A\] chung
Suy ra BNA đồng dạng CLA [g.g]
Suy ra: \[{{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\]
Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:
\[{{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\]
\[\widehat A\] chung
Suy ra ABC đồng dạng ANL [c.g.c
b]ABN vuông tại N nên \[AN = AB.\cos \widehat B\,[1]\]
BCL vuông tại L nên \[BL = BC.\cos \widehat B\,[2]\]
ACM vuông tại M nên \[CM = AC.\cos \widehat C\,[3]\]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:
\[AN.BL.CM = AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\]