Câu 21 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho tam giác vuông ABC [\[\widehat A = {90^0}\]], AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD.
Giải:
a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} = 1225\]
Suy ra: BC = 35 [cm]
Vì AD là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên:
\[{{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất đường phân giác ]
Suy ra: \[{{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
hay \[{{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
Suy ra: \[BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\] [cm]
Vậy DC = BC BD = 35 15 = 20 [cm]
Trong tam giác ABC ta có: DE // AB
Suy ra: \[{{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\] [Hệ quả định lí Ta-lét ]
Suy ra: \[DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\] [cm]
b. Ta có: \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294[c{m^2}]\]
Vì ABC và ADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:
\[\eqalign{ & {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7} \cr & \Rightarrow {S_{ABC}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126[c{m^2}] \cr} \]
Vậy \[{S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = 294 - 126 = 168[c{m^2}]\].
Câu 22 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Cho tam giác cân ABC [AB = AC], đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a. Tính AD, DC.
b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC.
Giải:
Vì BD là đường phân giác của \[\widehat {ABC}\] nên:
\[{{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\] [tính chất đường phân giác ]
Suy ra: \[{{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\]
hay \[{{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\]
Mà ABC cân tại A nên AC = AB = 15 [cm]
Suy ra: \[{{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \Rightarrow AD = {{15.15} \over {25}} = 9\] [cm]
Vậy DC = AC AD = 15 9 = 6 [cm]
b. Vì BE BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
Suy ra: \[{{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\] [tính chất đường phân giác ]
Suy ra: \[{{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \Rightarrow EC.BA = BC\left[ {EC + AC} \right]\]
Suy ra:
\[\eqalign{ & EC.BA - EC.BC = BC.AC \cr & \Rightarrow EC\left[ {BA - BC} \right] = BC.AC \cr} \]
Vậy \[EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\] [cm].
Câu 23 trang 88 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 2
Tam giác vuông ABC có\[\widehat A = 90^\circ \], AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.
a. Tính BC, BD và CD.
b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Giải:
a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\]
Suy ra: BC = 20 [cm]
Vì AD là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên:
\[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\] [tính chất đường phân giác ]
Suy ra: \[{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
hay \[{{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\]
Suy ra: \[DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} = {{60} \over 7}\] [cm]
Vậy: DC = BC DB = \[20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\] [cm]
b. Ta có: \[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\]
Suy ra: AB.AC = AH.BC
\[ \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\] [cm]
Trong tam giác vuông AHB, ta có: \[\widehat {AHB} = 90^\circ \]
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \[A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\]
Suy ra:
\[\eqalign{ & H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {12^2} - {\left[ {9,6} \right]^2} = 51,84 \cr & \Rightarrow HB = 7,2[cm] \cr} \]
Vậy \[HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \approx 1,37\] [cm]
Trong tam giác vuông AHD, ta có: \[\widehat {AHD} = 90^\circ \]
Theo định lí Pi-ta-go, ta có:
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {\left[ {9,6} \right]^2} + {\left[ {1,37} \right]^2} = 94,0369\]
Suy ra: AD 9,70 [cm]