Bài 60 SGK giải tích 12 nâng cao trang 117
a] Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \[y = {a^x};\,y = {\left[ {{1 \over a}} \right]^x}\] đối xứng với nhau qua trục tung.
b] Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \[y = {\log _a}x;\,\,y = {\log _{{1 \over a}}}x\] đối xứng với nhau qua trục hoành.
Giải
a] Gọi \[\left[ {{G_1}} \right]\]và \[\left[ {{G_2}} \right]\] lần lượt là đồ thị củ hàm số \[y = {a^x};\,y = {\left[ {{1 \over a}} \right]^x}\], \[M\left[ {{x_o},{y_o}} \right]\]là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua trục tung là \[M'\left[ { - {x_o},{y_o}} \right]\].
Ta có: \[M \in \left[ {{G_1}} \right] \Leftrightarrow {y_o} = {a^{{x_o}}} \Leftrightarrow {y_o}={\left[ {{1 \over a}} \right]^{ - {x_o}}} \]
\[\Leftrightarrow M' \in \left[ {{G_2}} \right]\]
Điều đó chứng tỏ \[\left[ {{G_1}} \right]\] và \[\left[ {{G_2}} \right]\] đối xứng với nhau qua trục tung.
b] Gọi \[\left[ {{G_1}} \right]\] và \[\left[ {{G_2}} \right]\] lần lượt là đồ thị củ hàm số \[y = {\log _a}x;\,\,y = {\log _{{1 \over a}}}x\]
Lấy\[M\left[ {{x_o},{y_o}} \right]\] tùy ý. Điểm đối xứng với M qua trục hoành là \[M'\left[ {{x_o}, - {y_o}} \right]\].
Ta có: \[M \in \left[ {{G_1}} \right] \Leftrightarrow {y_o} = {\log _a}{x_o} = - {\log _{{1 \over a}}}{x_o} \]
\[\Leftrightarrow - {y_o} = {\log _{{1 \over a}}}{x_o} \Leftrightarrow M' \in \left[ {{G_2}} \right]\]
Vậy \[\left[ {{G_1}} \right]\] và \[\left[ {{G_2}} \right]\] đối xứng với nhau qua trục hoành.
Bài 61 SGK giải tích 12 nâng cao trang 118
a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = {\log _{0,5}}x > 0;\]
b] \[- 3 \le {\log _{0,5}}x \le - 1\]
Giải
a] TXĐ: \[D = \left[ {0; + \infty } \right]\]
a = 0,5 < 1. Hàm số nghịch biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\].
Bảng giá trị:
b] \[{\log _{0,5}}x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1\] [ứng với phần đồ thị ở phía trên trục hoành].
c] \[- 3 < {\log _{0,5}}x < - 1 \Leftrightarrow 2 < x \le 8\] [ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ thuộc nửa khoảng \[\left[ { - 3;1} \right]\]].
Bài 62 SGK giải tích 12 nâng cao trang 118
Vẽ đồ thị của hàm số \[y = {\left[ {\sqrt 3 } \right]^x}\]. Dựa vào đồ thị, hãy giải thích các bất phương trình sau:
a] \[{\left[ {\sqrt 3 } \right]^x} \le 1\]; b] \[{\left[ {\sqrt 3 } \right]^x} > 3\]
Giải
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
Hàm số đồng biến trên R.
a] \[{\left[ {\sqrt 3 } \right]^x} \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\] [ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ lớn hơn 1]
b] \[{\left[ {\sqrt 3 } \right]^x} > 3 \Leftrightarrow x > 2\] [ứng với những điểm trên đồ thị có tung độ lón hơn 3].