Câu 61 trang 40 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập1
Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \[{{{x^2} - 25} \over {x + 1}} = 0\] khi \[{x^2} - 25 = 0\] và \[x + 1 \ne 0\] hay \[\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right] = 0\] và\[x \ne - 1\]. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \[x = \pm 5\]
Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :
a. \[{{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\]
b. \[{{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
Giải:
a. \[{{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\]= 0 khi \[98{x^2} - 2 = 0\] và x 2 0
Ta có: x 2 0 x 2
\[\eqalign{ & 98{x^2} - 2 = 0 \Rightarrow 2\left[ {49{x^2} - 1} \right] = 0 \Rightarrow \left[ {7x - 1} \right]\left[ {7x + 1} \right] = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {7x + 1 = 0} \cr {7x - 1 = 0} \cr} \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = - {1 \over 7}} \cr {x = {1 \over 7}} \cr} } \right.} \right. \cr} \]
\[x = {1 \over 7}\]và \[x = - {1 \over 7}\] thỏa mãn điều kiện x 2
Vậy \[x = {1 \over 7}\] hoặc \[x = - {1 \over 7}\] thì phân thức \[{{98{x^2} - 2} \over {x - 2}}\] có giá trị bằng 0.
b. \[{{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]\[ = {{3x - 2} \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} = 0\] khi 3x 2 = 0 và \[{\left[ {x + 1} \right]^2} \ne 0\]
Ta có : \[{\left[ {x + 1} \right]^2} \ne 0 \Rightarrow x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\]
\[3x - 2 = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\]
\[x = {2 \over 3}\] thỏa mãn điều kiện x - 1
Vậy \[x = {2 \over 3}\] thì phân thức \[{{3x - 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\] có giá trị bằng 0.
Câu 62 trang 40 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập1
Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :
a. \[{{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\]
b. \[{{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\]
c. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\]
d. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\]
Giải:
a. \[{{2x - 3} \over {{{x - 1} \over {x + 2}}}}\] biểu thức xác định khi x 1 0 và x + 2 0
x 1 và x -2. Vậy điều kiện để biểu thức xác định x 1 và x - 2
b. \[{{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\] biểu thức xác định khi và x 1 0
x 0 và x 1.
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x 0 và x 1
c. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\] biểu thức xác định khi \[{x^2} - 10x + 25 \ne 0\] và x 0
\[{x^2} - 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left[ {x - 5} \right]^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\]
Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x 0 và x 5
d. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\] biểu thức xác định khi \[{x^2} + 10x + 25 \ne 0\] và x 5 0.
\[\eqalign{ & {x^2} + 10x + 25 \ne 0 \Rightarrow {\left[ {x + 5} \right]^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne - 5 \cr & x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5 \cr} \]
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x 5 và x -5
Câu 63 trang 40 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0
Giải:
a. \[{{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\] điều kiện x 1 và x -2
\[ \Rightarrow {{\left[ {2x - 3} \right]\left[ {x + 2} \right]} \over {x - 1}} = 0\] biểu thức bằng 0 khi \[\left[ {2x - 3} \right]\left[ {x + 2} \right] = 0\] và \[x - 1 \ne 0\]
\[\left[ {2x - 3} \right]\left[ {x + 2} \right] = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0\]hoặc \[x + 2 = 0\]
\[2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5;x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2\]
\[x = - 2\] không thỏa mãn điều kiện, \[x = 1,5\] thỏa mãn điều kiện.
Vậy \[x = 1,5\] thì biểu thức \[{{{{2x - 3} \over {x - 1}}} \over {x + 2}}\] có giá trị bằng 0.
b. \[{{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}} = 0\] điều kiện x 0 và x 1
\[ \Rightarrow {{2{x^2} + 1} \over {x\left[ {x - 1} \right]}} = 0\] biểu thức có giá trị bằng 0 khi \[2{x^2} + 1 = 0\] và \[x\left[ {x - 1} \right] \ne 0\]
Ta có: \[2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 1 \ne 0\] với mọi x
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \[{{{{2{x^2} + 1} \over x}} \over {x - 1}}\] có giá trị bằng 0
c. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\] điều kiện x 0 và x 5
\[ \Rightarrow {{\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 5} \right]x} \over {{{\left[ {x - 5} \right]}^2}}} = 0 \Rightarrow {{x\left[ {x + 5} \right]} \over {x - 5}} = 0\]
Biểu thức có giá trị bằng 0 khi x [x + 5] = 0 và x 5 0
\[x\left[ {x + 5} \right] = 0 \Rightarrow x = 0\] hoặc \[x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5\]
x = 0 không thỏa mãn điều kiện,
x = - 5 thỏa mãn điều kiện
Vậy x = -5 thì biểu thức \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} - 10x + 25} \over x}}}\] có giá trị bằng 0
d. \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\] điều kiện x 5 và x -5
\[ \Rightarrow {{\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 5} \right]\left[ {x - 5} \right]} \over {{x^2} + 10x + 25}} = 0 \Rightarrow {{\left[ {x + 5} \right]{{\left[ {x - 5} \right]}^2}} \over {{{\left[ {x + 5} \right]}^2}}} = 0\]
\[ \Rightarrow {{{{\left[ {x - 5} \right]}^2}} \over {x + 5}} = 0\]. Biểu thức bằng 0 khi \[{\left[ {x - 5} \right]^2} = 0\] và \[x + 5 \ne 0\]
\[{\left[ {x - 5} \right]^2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\]
\[x = 5\] không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức \[{{{x^2} - 25} \over {{{{x^2} + 10x + 25} \over {x - 5}}}}\] có giá trị bằng 0.
Câu 64 trang 41 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :
a. \[{{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]
b. \[{{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]
c. \[{1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
d. \[\left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]:{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\]
Giải:
a. \[{{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]
Ta có: \[x - {1 \over x}\] xác định khi x 0
\[{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\] xác định khi x 0
\[\eqalign{ & {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0 \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0 \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0 \cr & \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1;x \ne 1 \cr} \]
Vậy với x 0, x 1 và x -1 thì biểu thức xác định.
\[{{x - {1 \over x}} \over {{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]\[ = {{{{{x^2} - 1} \over x}} \over {{{{x^2} - 1} \over x}}} = {{{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\]
b. \[{{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]
Ta có: \[{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\] xác định khi x + 1 0 và x 1 0 \[x \ne \pm 1\]
\[{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\] xác định khi x 1 0 và \[{x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\]
\[{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0 \Rightarrow {{\left[ {2x + 2} \right]\left[ {x + 1} \right] - 4x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} \ne 0\]
\[ \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} \ne 0 \Rightarrow {{2{x^2} + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} \ne 0\] mọi x
Vậy điều kiện để biểu thức xác định x 1 và x -1
\[{{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]\[ = {{{{x\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}} \over {{{2{x^2} + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}}} = {{{x^2} + 1} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}.{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {2\left[ {{x^2} + 1} \right]}} = {1 \over 2}\]
c. \[{1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
Biểu thức xác định khi x 1 0, \[{x^2} - 2x + 1 \ne 0\]và \[{x^2} - 1 \ne 0\]
\[\eqalign{ & x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \cr & {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1;x \ne 1 \cr} \]
Vậy biểu thức xác định với x -1 và x 1
Ta có: \[{1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
\[\eqalign{ & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} - 1} \right]} \over {{x^2} + 1}}.\left[ {{x \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} - {1 \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}} \right] \cr & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {{x^2} + 1}}.{{x\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x - 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} \cr & = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} + x - x + 1} \right]} \over {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} = {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} \cr & = {{ - \left[ {x - 1} \right]} \over {x - 1}} = - 1 \cr} \]
d. \[\left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]:{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\]
Biểu thức xác định khi
\[\eqalign{ & {x^2} - 36 \ne 0,{x^2} + 6x \ne 0,6 - x \ne 0,2x - 6 \ne 0 \cr & {x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left[ {x - 6} \right]\left[ {x + 6} \right] \ne 0 \Rightarrow x \ne 6;x \ne - 6 \cr & {x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left[ {x + 6} \right] \ne 0 \Rightarrow x \ne 0;x \ne - 6 \cr & 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \cr & 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \cr} \]
Vậy x 0, x 3, x 6 và x -6 thì biểu thức xác định.
Ta có : \[\left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]:{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{x \over {\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}} - {{x - 6} \over {x\left[ {x + 6} \right]}}} \right]:{{2x - 6} \over {x\left[ {x + 6} \right]}} + {x \over {6 - x}} \cr & = {{{x^2} - {{\left[ {x - 6} \right]}^2}} \over {x\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}}.{{x\left[ {x + 6} \right]} \over {2\left[ {x - 3} \right]}} + {x \over {6 - x}} = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}}.{{x\left[ {x + 6} \right]} \over {2\left[ {x - 3} \right]}} + {x \over {6 - x}} \cr & = {{12\left[ {x - 3} \right]} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left[ {x - 3} \right]}} + {x \over {6 - x}} = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left[ {x - 6} \right]} \over {x - 6}} = - 1 \cr} \]