Câu 7 trang 99 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A, B. Đường phân giác của góc OBO cắt các đường tròn [O], [O] tương ứng tại C, D.
Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BOD.
Hướng dẫn. Sử dụng các tam giác cân OBC, OBD.
Giải
Trong [O] ta có:
\[\Delta OBC\]cân tại O [vì OB = OC bán kính]
\[\Rightarrow \widehat {BOC} = {180^0} - 2.\widehat {OBC}\] [1]
Trong [O] ta có
\[\Delta BO'D\]cân tại O [vì OD = OD bán kính]
\[\Rightarrow \widehat {BO'D} = {180^0} - 2.\widehat {O'BD}\] [2]
\[\widehat {OBC} = \widehat {O'BD}\][vì BC là phân giác của \[\widehat {OBO'}\]][3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra:\[\widehat {BOC} = \widehat {BO'D}\].
Câu 8 trang 100 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Trên một đường tròn, có cung AB bằng 1400, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A là điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD.
Giải
Ta có: cung AB = cung BD = cung AC [gt]
\[\Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {BOD} = \widehat {AOC} = {180^0}\]
Kẻ đường kính AA, BB ta có:
\[\widehat {AOB} + \widehat {AOB'} = {180^0}\][hai góc kề bù]
\[\Rightarrow \widehat {AOB'} = {180^0} - \widehat {AOB} = {180^0} - {140^0} = {40^0}\]
Suy ra: \[\widehat {BOA'} = \widehat {AOB'} = {40^0}\][hai góc đối đỉnh]
\[\widehat {B'OD} + \widehat {BOD} = {180^0}\][hai góc kề bù]
\[\Rightarrow \widehat {B'OD} = {180^0} - \widehat {BOD} = {180^0} - {140^0} = {40^0}\]
\[\widehat {AOC} = \widehat {AOB'} + \widehat {B'OD} + \widehat {DOC}\]
\[\Rightarrow \widehat {DOC} = \widehat {AOC} - \widehat {AOB'} - \widehat {B'OD} = {140^0} - {40^0} - {40^0} = {60^0}\]
sđ cung CD [nhỏ] =\[\widehat {COD} = {60^0}\]
sđ cung CD [lớn] = sđcung CD [nhỏ]= 3600 600= 3000
Câu 9 trang 100 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn [O]. Điểm C của cung lớn AB thành hai cung AC và CB. Chứng minh rằng cung lớn AB có sđ cung AB = sđ cung AC = sđ cung CB.
Hướng dẫn: Xét 3 trường hợp:
a] Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB.
b] Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB
c] Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB
Giải
a] Trường hợp tia OC nằm trong góc đối đỉnh với\[\widehat {AOB}\]
Kẻ đường kính CD
Suy ra: OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ cung AB
\[\Rightarrow \]sđ cung AD [nhỏ] + sđ cung BD [nhỏ] = sđ cung AB [nhỏ] [1]
Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD.
\[\Rightarrow \]sđ cung AD [nhỏ]+ sđ cung AC [nhỏ] = 1800 [2]
Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD.
\[\Rightarrow \]sđ cung BD [nhỏ] + sđ cung BC [nhỏ] = 1800 [3]
Cộng từng vế [2] và [3]:
sđ cung AD [nhỏ] + sđ cung AC [nhỏ] + sđ cung BD [nhỏ] + sđ cung BC [nhỏ] = 3600 [4]
Từ [1] và [4] suy ra: sđ cung AC [nhỏ] + sđ cung BC [nhỏ] + sđ cung AB [nhỏ] = 3600
\[\Rightarrow \]sđ cung AC [nhỏ] + sđ cung BC [nhỏ] = 3600- sđ cung AB [nhỏ]
Mà 3600- sđ cung AB [nhỏ] = sđ cung AD [lớn]
Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung BC
b]
Trường hợp tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB ta có:
\[\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\];$\widehat {AOC} = {180^0}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^0}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^0} - \widehat {AOB}\]
Suy ra: sđ cung AB + sđ cung BC [nhỏ] = 3600- sđ cung AB [nhỏ]
Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC [nhỏ] + sđ cung BC
c]
Trong hợp tia OC nằm trong góc kề bù với góc ở tâm AOB, kẻ đường kính AE.
Theo trường hợp b ta có:
sđ cung AB [lớn] = sđ cung AE [nhỏ] + sđ cung BE [nhỏ]
Ta xét trường hợp C nằm trên cung nhỏ EB:
sđ cung EB [nhỏ] = sđ cung EC [nhỏ] + sđ cung CB [nhỏ]
\[\Rightarrow \]sđ cung AB [lớn] = sđ cung AE + sđ cung EC [nhỏ] + sđ cung CB [nhỏ]
Theo kết quả trường hợp b ta có:
sđ cung AE + sđ cung EC [nhỏ]= sđ cung AC [lớn]
Vậy với cung AB lớn ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB
Trong trường hợp OC nằm trên góc đối với góc ở tâm \[\widehat {BOE}\]chứng minh tương tự.
Trong trường hợp OC nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \[\widehat {AOB}\]chứng minh ở trường hợp a.