Câu 75 trang 147 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tạiA] Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD
Giải
Ta có: ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}}\][tính chất tam giác cân]
Lại có: AD = AB [gt]
=>AD = AC do đó ACD cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat D = \widehat {{C_2}}\][tính chất tam giác cân]
Mà \[\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\]
Nên \[\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat B + \widehat D\] [1]
Trong BCD, ta có:
\[\widehat B + \widehat D + \widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[2\widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \]hay \[\widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ \]
Câu 76 trang 147 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E. Tính tổng DE + DF.
Giải
Ta có: DF // AC [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\][hai góc đồng vị] [1]
Lại có: ABC cân tại A
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat C\][tính chất tam giác cân] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B = \widehat {{D_1}}\]
Hay BFD cân tại F=> BF = DF
Nối AD. Xét AFD và DEA, ta có:
\[\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {E{\rm{AD}}}\][so le trong vì DF // AC]
AD cạnh chung
\[\widehat {F{\rm{D}}A} = \widehat {E{\rm{D}}A}\][so le trong vì DE // AB]
Suy ra: ADF = DAE [g.c.g] => AF = DF [hai cạnh tương ứng]
Vậy: DE + DF = AF + BF = AB = 3[cm]
Câu 77 trang 148 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng DEF là tam giác đều.
Giải
Ta có: AB = AD + DB [1]
BC = BE + EC [2]
AC = AF + FC [3]
AB = AC = BC [gt] [4]
AD = BE = CF [gt] [5]
Từ [1], [2], [3], [4] và [5] suy ra:
BD = EC = AF
Xét ADF và BED, ta có:
AD = BE [gt]
\[\widehat A = \widehat B = 60^\circ \][vì ABC đều]
AE = BD [chứng minh trên]
Suy ra: ADF = BED [c.g.c]
Suy ra: DF = DE [hai cạnh tương ứng] [6]
Xét ADF và CFE ta có:
AD = CF [gt]
\[\widehat A = \widehat C = 60^\circ \][vì ABC đều]
EC = AF [chứng minh trên]
Suy ra : ADF = CFE [c.g.c]
Suy ra: DF = FE [hai cạnh tương ứng] [7]
Từ [6] và [7] suy ra: DF = ED = FE
Vậy DEF đều.
Câu 78 trang 148 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE
Giải
Ta có: DI // BC [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\][so le trong] [1]
Lại có: \[{\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\] [2]
[vì BI là tia phân giác của \[\widehat B\]]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\]
\[ \Rightarrow \]BDI cân tại D => BD = DI [3]
Mà IE // BC [gt] => \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\][so le trong] [4]
Đồng thời: \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\][Vì CI là tia phân giác của \[\widehat {{C_1}}\]] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\]=> CEI cân tại E
\[ \Rightarrow \]CE = EI [hai cạnh tương ứng] [6]
Từ [3] và [6] suy ra: BD + CE = DI + EI = DE.