Bài 76 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {x^4} - {x^2}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b] Từ đồ thị của hàm số y = f[x] suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\]
Giải
a] Tập xác định: \[D=\mathbb R\]
\[\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 2x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr
x = - {{\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\left[ { - {{\sqrt 2 } \over 2};0} \right]\] và \[\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[\left[ { - \infty ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right]\] và \[\left[ {0;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]\]
+] Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại: \[x=0;\;\;y[0]=0\]
Hàm số đạt cực tiểu tại: \[x={{\sqrt 2 } \over 2}\] và\[x=-{{\sqrt 2 } \over 2}\]; \[y\left[ { \pm {{\sqrt 2 } \over 2}} \right] = - {1 \over 4}\]
+] Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt \[Ox\] và \[Oy\] tại \[O[0;0];[-1;0];[1;0]\]
Đồ thị hàm số là hàm chẵn nên nhận trục Oy làm trục đối xứng.
b] Ta có
\[y = \left| {f\left[ x \right]} \right| = \left\{ \matrix{
f\left[ x \right]\,\,\,\text{nếu}\,\,\,f\left[ x \right] \ge 0 \hfill \cr
- f\left[ x \right]\,\,\,\text{nếu}\,\,\,f\left[ x \right] < 0 \hfill \cr} \right.\]
Suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\]
Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f[x] ở phía trên trục hoành. Lấy phần đồ thị hàm số ở phía dưới trục hoành đối xứng qua trục hoành. Hợp hai phần đồ thị trên ta được đồ thị hàm số\[y = \left| {f\left[ x \right]} \right|\]
Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số: \[y = {{x - 4m} \over {2\left[ {mx - 1} \right]}}.\,\,\,\left[ {{H_m}} \right]\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.
b] Chứng minh rằng với mọi \[m \ne \pm {1 \over 2}\], các đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\] đều đi qua hai điểm cố định A và B.
Giải
a] m=1 hàm số có dạng: \[y = {{x - 4} \over {2x - 2}}\]
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y' = {6 \over {{{\left[ {2x - 2} \right]}^2}}} > 0\,,\forall x \in D\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số không có cực trị
Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = - \infty \]
Đường tiệm cận đứng: \[x=1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = {1 \over 2}\]
Đường tiệm cận ngang \[y={1 \over 2}\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: [4;0];[0;2]
b] Gọi \[M\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ. Đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\] đi qua điểm M khi và chỉ khi m là nghiệm của phương trình \[{{{x_o} - 4m} \over {2\left[ {m{x_o} - 1} \right]}} = {y_o}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr
2{y_o}\left[ {m{x_o} - 1} \right] = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr
\left[ {2{x_o}{y_o} + 4} \right]m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Mọi đường cong\[\left[ {{H_m}} \right]\] với \[m \ne \pm {1 \over 2}\]đều đi qua điểm \[M\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi \[m \ne \pm {1 \over 2}\].
Phương trình [2] nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr
{x_o} + 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = - 2 \hfill \cr
{y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\text{hoặc}\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = 2 \hfill \cr
{y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\] =[-2;1] và\[\left[ {{x_o};{y_o}} \right]\]=[2;-1]
Ta kiểm tra điều kiện [1]
Với \[{x_o} = - 2\], ta có \[m \ne - {1 \over 2}\]
Với \[{x_o} = 2\], ta có \[m \ne {1 \over 2}\]
Vậy mọi đường cong \[\left[ {{H_m}} \right]\]với \[m \ne \pm {1 \over 2}\]đều đi qua hai điểm cố định A[-2; 1] và B[2; - 1].
c] Ta có \[y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {mx - 1} \right]}^2}}}\]
Hệ số góc tiếp tuyến với \[\left[ {{H_m}} \right]\] tại A[-2; 1] và \[B[2; - 1]\]là y[-2];y'[2].
Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:
\[y'\left[ { - 2} \right].y'\left[ 2 \right] = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {-2m - 1} \right]}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left[ {2m - 1} \right]}^2}}} = {1 \over 4}\] là hằng số.
Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
a] Vẽ đồ thị [P] của hàm số \[y = {x^2} - x + 1\] và đồ thị [H] của hàm số \[y = {1 \over {x + 1}}\].
b] Tìm giao điểm của hai đường cong [P] và [H]. Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
c] Xác định các khoảng trên đó [P] nằm phía trên hoặc phía dưới [H].
Giải
a] Đồ thị
b] Hoành độ giao điể của parabol [P] và hypebol [H] là nghiệm của phương trình:
\[{x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} - x + 1} \right] = 1\] [vì x = -1 không là nghiệm của phương trình]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0;\,\left[ {y\left[ 0 \right] = 1} \right]\]
Giao điểm của [P] và [H] là A[0;1]
Đặt \[f\left[ x \right] = {x^2} - x + 1;\,g\left[ x \right] = {1 \over {x + 1}}\]
Ta có: \[f'\left[ x \right] = 2x - 1;\,g'\left[ x \right] = - {1 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}\]
\[f'\left[ 0 \right] = g'\left[ x \right] = - 1\]
Suy ra [P] và [H] có tiếp tuyến chung tại A nên [P] và [H] tiếp xúc nhau tại điểm A.
c] Xét hiệu \[f\left[ x \right] - g\left[ x \right] = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}} = {{{x^3}} \over {x + 1}}\]
Bảng xét dấu f[x] g[x]
Trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]và \[\left[ {0; + \infty } \right]\][P] nằm phía trên [H]. Trên khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\][P] nằm phía dưới [H].
Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số : \[y = f\left[ x \right] = x + {1 \over x}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số.
b] Tiếp tuyến của đường cong [C] tại điểm \[M\left[ {{x_o};f\left[ {{x_o}} \right]} \right]\] cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong [C].
Giải
a]
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\]
\[\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[\left[ { - 1;0} \right]\left[ {0;1} \right]\]
+] Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại: \[x=-1 ; y[-1]= -2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại: \[x=1;y[1]=2\]
+] Giới hạn:
\[\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }} = + \infty \]
Tiệm cận đứng: \[x=0\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over x} = 0\]
Tiệm cận xiên: \[y=x\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b] Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \[f\left[ x \right] = 1 - {1 \over {{x^2}}}\]. Phương trình tiếp tuyến của đường cong [C] tại điểm \[M\left[ {{x_o};f\left[ {{x_o}} \right]} \right]\] là \[y = \left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}}\]
Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:
\[{y_A} = \left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ { - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = {2 \over {{x_o}}}\]. Vậy \[A\left[ {0;{2 \over {{x_o}}}} \right]\]
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình
\[\left[ {1 - {1 \over {x_o^2}}} \right]\left[ {x - {x_o}} \right] + {x_o} + {1 \over {{x_o}}} = x \]
\[\Leftrightarrow - {x \over {{x_o}}} + {2 \over {{x_o}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_o}\]
\[{x_B} = 2{x_o}\]. Vậy \[B\left[ {2{x_o};2{x_o}} \right]\]
Ta có: \[{x_M} = {x_o} = {{0 + 2{x_o}} \over 2} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2}\]
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Diện tích tam giác OAB là
\[S = {1 \over 2}\left| {{y_A}} \right|\left| {{y_B}} \right| = {1 \over 2}\left| {{2 \over {{x_o}}}} \right|\left| {2{x_o} } \right|=2\,\,\,\forall {x_o} \ne 0\]