Câu 78 trang 170 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O ; 2cm] và [O ; 3cm], OO = 6cm.
a] Hai đường tròn [O], [O] có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?
b] Vẽ đường tròn [O ;1cm] rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó [ A là tiếp điểm]. Tia OA cắt đường tròn [O ; 3cm] ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn [O] song song với OB, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [O ; 2cm] và [O ; 3cm].
c] Tính độ dài BC.
d] Gọi I là giao điểm của BC và OO. Tính độ dài IO.
Giải:
a] Vì OO = 6 > 2 + 3 hay OO > R + R nên hai đường tròn [O] và [O] ở ngoài nhau.
b] Xét tứ giác ABCO ta có:
AB // CO [gt] [1]
Mà: AB = OB OA = 3 1 = 2 [cm]
Suy ra: AB = OC = 2 [cm] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ABCO là hình bình hành.
Lại có: OA OA [ tính chất tiếp tuyến]
Suy ra: \[\widehat {OAO'} = 90^\circ \] hay \[\widehat {OAB} = 90^\circ \]
Tứ giác ABCO là hình chữ nhật
Suy ra: \[\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \]
Suy ra: BC OC và BC OB
Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [O] và [O].
c] Vì tứ giác ABCO là hình chữ nhật nên OA = BC
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAO, ta có:
OO2= OA2+ OA2
OA2= OO2 OA2= 62 12= 35
\[ OA =\sqrt {35}[cm]\]
Vậy \[BC = \sqrt {35} [cm]\]
d] Trong tam giác OBI có OC // OB
Suy ra: \[{{IO} \over {IO'}} = {{OC} \over {O'B}}\] [hệ quả định lí Ta-lét]
\[{{IO} \over {IO' - IO}} = {{OC} \over {O'B - OC}} \Rightarrow {{IO} \over {O'O}} = {2 \over {3 - 2}} \Rightarrow {{IO} \over 6} = {2 \over 1}\]
Vậy \[OI = {{6.2} \over 1} = 12 [cm]\]
Câu 79 trang 170 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O ; R], điểm A nằm bên ngoài đường tròn [R < OA < 3R]. Vẽ đường tròn [A ; 2R].
a] Hai đường tròn [O] và [A] có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?
b] Gọi B là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính BOC của đường tròn [O]. Gọi D là giao điểm [ khác C] của AC và đường tròn [O]. Chứng minh rằng AD = DC.
Giải:
a] Ta có: R < OA < 3R 2R- R < OA < 2R + R
Suy ra hai đường tròn [O; R] và [A; 2R] cắt nhau.
b] Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn [O] có BC là đường kính nên \[\widehat {BDC} = 90^\circ \]
Suy ra: BD AC [1]
Ta có: AB = 2R và BC = 2OB = 2R
Suy ra tam giác ABC cân tại B [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AD = DC
Câu 80 trang 170 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho đường tròn [O ; 2cm] tiếp xúc với đường thẳng d. Dựng đường tròn [O ; 1cm] tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài đường tròn [O].
Giải:
*Phân tích
Giả sử dựng được đường tròn [O; 1cm] tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với đường tròn [O ; 2cm].
Đường tròn [O; 1cm] tiếp xúc với d nên O cách d một khoảng bằng 1cm. Khi đó O nằm trên hai đường thẳng d1, d2song song với d và cách d một khoảng 1cm.
Đường tròn [O; 1cm] tiếp xúc với đường tròn [O; 2cm] nên suy ra OO = 3cm. Khi đó O là giao điểm của [O; 3cm] với d1và d2.
*Cách dựng
Dựng hai đường tròn d1và d2song song với d và cách d một khoảng bằng 1cm.
Dựng đường tròn [O; 3cm] cắt tại d1tại O1. Vẽ [O1; 1cm] tiếp xúc với d.
*Chứng minh
Theo cách dựng, O1cách d một khoảng bằng 1cm nên [O1; 1cm] tiếp xúc với d.
Vì OO1= 3cm nên [O1; 1cm] tiếp xúc với [O; 2cm]
*Biện luận:O cách d1một khoảng bằng 1cm nên [O; 3cm] cắt d1tại hai điểm phân biệt.