Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a] \[f\left[ x \right] = {x^2}\left[ {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right];\]
b] \[f\left[ x \right] = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\]
c] \[f\left[ x \right] = {x^3}{e^x};\]
d] \[f\left[ x \right] = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.\]
Giải
a] Đặt \[u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\]
Do đó \[\int {{x^2}{{\left[ {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right]}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} } + C \]
\[= {\left[ {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right]^6} + C\]
b] Đăt \[u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du = - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \]
\[\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx = - du\]
\[ \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx = - \int {udu = - {{{u^2}} \over 2} + C} } \]
\[= - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left[ {{1 \over x}} \right] + C \]
c] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^3} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 3{x^2}dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left[ 1 \right]} } \]
Tính \[{I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left[ 2 \right]} \]
Tính \[{I_2} = \int {x{e^x}dx} \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = {e^x}\left[ {x - 1} \right] + C} \]
Thay \[{I_2}\]vào [2] ta được: \[{I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left[ {x - 1} \right] = {e^x}\left[ {{x^2} - 2x + 2} \right] + C\]
Thay\[{I_1}\] vào [1] ta được : \[I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left[ {{x^2} - 2x + 2} \right]\]
\[= {e^x}\left[ {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right] + C\]
d] Đặt \[u = \sqrt {3x - 9} \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \]
\[\Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}\]
Do đó \[\int {{e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left[ {u - 1} \right] + C} } \][bài 6c]
\[ = {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}\left[ {\sqrt {3x - 9} - 1} \right] + C\]
Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a] \[f\left[ x \right] = {x^2}\cos 2x;\] \[b]\,f\left[ x \right] = \sqrt x \ln x;\]
c] \[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x\cos x;\] d] \[f\left[ x \right] = x\cos \left[ {{x^2}} \right];\]
Giải
a] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x} - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left[ 1 \right]} \]
Tính \[\int {x\sin 2xdx} \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow \int {x\sin 2xdx = - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx}} \]
\[= - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C \]
Thay vào [1] ta được \[\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x}\]
\[+ {1 \over 4}\sin 2x + C\]
b] Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx} \]
\[ = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \]
\[= {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x - {4 \over 9}\sqrt {{x^3}} + C\]
c] Đặt \[u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\]
\[ \Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C}\]
\[= {1 \over 5}{{\sin }^5}x + C.\]
d] Đặt \[u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\]
\[ \Rightarrow \int {x\cos \left[ {{x^2}} \right]dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C} } \]
\[= {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C. \]