Bài 84 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
So sánh p và q, biết:
\[\eqalign{
& a]\,{\left[ {{2 \over 3}} \right]^p} > {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - q}} \cr
& c]\,0,{25^p} < {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{2q}} \cr} \]
\[\eqalign{
& b]\,{\left[ {{8 \over 3}} \right]^{ - p}} < {\left[ {{3 \over 8}} \right]^q} \cr
& d]\,{\left[ {{7 \over 2}} \right]^p} < {\left[ {{2 \over 7}} \right]^{p - 2q}} \cr} \]
Giải
\[\eqalign{
& a]\,{\left[ {{2 \over 3}} \right]^p} > {\left[ {{3 \over 2}} \right]^{ - q}} \Leftrightarrow {\left[ {{2 \over 3}} \right]^p} > {\left[ {{2 \over 3}} \right]^q}\cr& \Leftrightarrow p < q\,\,\left[ {\text{ vì }\,\,\,{2 \over 3} < 1} \right] \cr
& b]\,{\left[ {{8 \over 3}} \right]^{ - p}} < {\left[ {{3 \over 8}} \right]^q} \Leftrightarrow {\left[ {{3 \over 8}} \right]^p} < {\left[ {{3 \over 8}} \right]^q} \cr&\Leftrightarrow p > q\,\,\left[ {\text{ vì }\,\,{3 \over 8} < 1} \right] \cr
& c]\,\,0,{25^p} < {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{2q}} \Leftrightarrow {\left[ {{1 \over 4}} \right]^p} < {\left[ {{1 \over 4}} \right]^q}\cr& \Leftrightarrow \,\,p > q\,\,\left[ {\text{ vì }\,\,{1 \over 4} < 1} \right] \cr
& d]\,\,{\left[ {{7 \over 2}} \right]^p} < {\left[ {{2 \over 7}} \right]^{p - 2q}} \Leftrightarrow {\left[ {{7 \over 2}} \right]^p} < {\left[ {{7 \over 2}} \right]^{2q - p}} \cr&\Leftrightarrow p < 2q - p\,\,\left[ {\text{ vì }\,\,{7 \over 2} > 1} \right] \cr
& \Leftrightarrow 2p < 2q \Leftrightarrow p < q \cr} \]
Bài 85 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho \[x < 0\]. Chứng minh rằng: \[\sqrt {{{ - 1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left[ {{2^x} - {2^{ - x}}} \right]}^2}} } \over {1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left[ {{2^x} - {2^{ - x}}} \right]}^2}} }}} = {{1 - {2^x}} \over {1 + {2^x}}}\]
Giải
Ta có: \[1 + {1 \over 4}{\left[ {{2^x} - {2^{ - x}}} \right]^2} = {1 \over 4}\left[ {4 + {4^x} - 2 + {4^{ - x}}} \right] \]
\[= {1 \over 4}\left[ {{4^x} + 2 + {4^{ - x}}} \right] = {1 \over 4}{\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]^2}\]
Do đó:
\[\eqalign{
& \sqrt {{{ - 1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left[ {{2^x} - {2^{ - x}}} \right]}^2}} } \over {1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left[ {{2^x} - {2^{ - x}}} \right]}^2}} }}} \cr&= \sqrt {{{ - 1 + {1 \over 2}\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]} \over {1 + {1 \over 2}\left[ {{2^x} + {2^{ - x}}} \right]}}} = \sqrt {{{{2^x} - 2 + {2^{ - x}}} \over {{2^x} + 2 + {2^{ - x}}}}} \cr
& = \sqrt {{{{2^x} - 2 + {1 \over {{2^x}}}} \over {{2^x} + 2 + {1 \over {{2^x}}}}}} = \sqrt {{{{4^x} - {{2.2}^x} + 1} \over {{4^x} + {{2.2}^x} + 1}}}\cr& = \sqrt {{{{{\left[ {{2^x} - 1} \right]}^2}} \over {{{\left[ {{2^x} + 1} \right]}^2}}}} = {{1 - {2^x}} \over {1 + {2^x}}} \cr} \]
[vì với \[x < 0\] thì \[{2^x} < 1\]]
Bài 86 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Tính:
\[a]\,A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}\]
\[b]\,B = {\log _a}\left[ {{{{a^2}.\root 3 \of a .\root 5 \of {{a^4}} } \over {\root 4 \of a }}} \right]\]
\[c]\,\,C = {\log _5}{\log _5}\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } } \]
Giải
a] Áp dụng \[{\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = {\beta \over \alpha }{\log _a}b\][với \[a > 0, b>0\] và \[a \ne 1\]] và \[{a^{{{\log }_a}b}} = b\]
Ta có:
\[\eqalign{
& 2{\log _3}4 + 4{\log _{81}}2 = {4 \over 2}{\log _3}4 + 2{\log _9}2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\log _9}{4^4} + {\log _9}{2^2} = {\log _9}{2^{10}} \cr} \]
Do đó \[A = {9^{{{\log }_9}{2^{10}}}} = {2^{10}} = 1024\]
b] Ta có \[{{{a^2}.\root 3 \of a .\root 5 \of {{a^4}} } \over {\root 4 \of a }} = {a^{2 + {1 \over 3} + {4 \over 5} - {1 \over 4}}} = {a^{{{173} \over {60}}}}\]
Do đó: \[B = {\log _a}{a^{{{173} \over {60}}}} = {{173} \over {60}}\]
c] Ta có \[\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } } = {5^{{{\left[ {{1 \over 5}} \right]}^n}}} \Rightarrow {\log _5}\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } } \]
\[= {\left[ {{1 \over 5}} \right]^n} = {5^{ - n}}\]
\[\Rightarrow C = - n\]
Bài 87 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao
Chứng minh rằng\[{\log _2}3 > {\log _3}4\]
Giải
Ta có \[{\log _2}3 > {\log _3}4 \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4 \Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\][vì \[{\log _3}2 > 0\]]
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left[ {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right] = {1 \over 2}{\log _3}8 \cr
&{1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\,\,\left[ {dpcm} \right] \cr} \]