Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng \[\Delta \] có phương trình \[{{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.\]
a] Viết phương trình hình chiếu của \[\Delta \] trên các mặt phẳng tọa độ.
b] Chứng minh rằng mặt phẳng \[x + 5y + z + 4 = 0\] đi qua đường thẳng \[\Delta \].
c] Tính khoảng cách giữa đường thẳng \[\Delta \] và các trục tọa độ.
d] Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \[\Delta \] và \[\Delta ':x = y = z.\]
e] Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả\[\Delta \] và \[\Delta '\].
Giải
a] Đường thẳng\[\Delta \] có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\]
Vì điểm M[x, y, z] có hình chiếu trên [Oxy] là M[x, y, 0] nên hình chiếu \[{d_1}\] của\[\Delta \] trên [Oxy] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Hình chiếu \[{d_2}\]của \[\Delta \] trên [Oyz] là
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\]
Hình chiếu\[{d_3}\] của\[\Delta \] trên [Oxz] là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\]
b] Lấy điểm \[M\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta ,\] thay tọa độ của M vào phương trình \[mp\left[ \alpha \right]\] ta có:
\[1 + 2t - 5\left[ {1 + t} \right] + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left[ \alpha \right].\]
Vậy \[\Delta \subset \left[ \alpha \right],\]tức \[mp\left[ \alpha \right]\]đi qua \[\Delta \].
c] \[\Delta \] qua điểm \[M\left[ {1; - 1;0} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;3} \right].\]
Đường thẳng chứa trục Ox qua O[0; 0; 0] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i \left[ {1;0;0} \right]\].
Khoảng cách giữa \[\Delta \] và trục Ox là:
\[{h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3\sqrt {10} } \over {10}}.\]
Khoảng cách giữa\[\Delta \] và trục Oy là:
\[{h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {2^2}} }} = {{3\sqrt {13} } \over {13}}.\]
Khoảng cách giữa \[\Delta \]và trục Oz là:
\[{h_3} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right|}} = {{\left| 1 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\sqrt 5 } \over 5}.\]
d] Lấy \[P\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta ,\,\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;3} \right].\]
\[Q\left[ {t',t',t'} \right] \in \Delta ',\,\,\Delta '\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} \left[ {1;1;1} \right].\]
Ta có \[\overrightarrow {QP} = \left[ {1 + 2t - t', - 1 - t - t',3t - t'} \right].\]
PQ là đường vuông góc chung của\[\Delta \] và\[\Delta '\] khi và chỉ khi \[\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {u'} ,\]tức là:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \cr&\left\{ \matrix{
2\left[ {1 + 2t - t'} \right] - \left[ { - 1 - t - t'} \right] + 3\left[ {3t - t'} \right] = 0 \hfill \cr
1 + 2t - t' - 1 - t - t' + 3t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14t - 4t' = - 3 \hfill \cr
4t - 3t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {9 \over {26}} \hfill \cr
t' = - {6 \over {13}} \hfill \cr} \right.. \cr} \]
Do đó \[Q\left[ { - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}} \right]\] và \[\overrightarrow {QP} = \left[ {{{20} \over {16}},{{ - 5} \over {16}},{{ - 15} \over {16}}} \right] = {5 \over {16}}\left[ {4; - 1; - 3} \right].\]
Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow v = \left[ {4; - 1; - 3} \right].\]Do đó PQ có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - {6 \over {13}} + 4t \hfill \cr
y = - {6 \over {13}} - t \hfill \cr
z = - {6 \over {13}} - 3t \hfill \cr} \right..\]
e] Lấy điểm \[P\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta .\]
\[Q\left[ {t',t',t'} \right] \in \Delta '.\]
PQ // Oz \[\Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \]cùng phương với
\[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + 2t - t' = 0 \hfill \cr
- 1 - t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {2 \over 3} \hfill \cr
t' = - {1 \over 3}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy PQ đi qua \[Q\left[ { - {1 \over 3}, - {1 \over 3}, - {1 \over 3}} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\]nên PQ có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
y = - {1 \over 3} \hfill \cr
z = - {1 \over 3} + t \hfill \cr} \right..\]
Bài 10 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A[1; -1; 2], B[2; 0; 1].
a] Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \[M{A^2} - M{B^2} = 2.\]
b] Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \[N{A^2} + N{B^2} = 3.\]
c] Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng [OAB] và [Oxy].
Giải
a] Giả sử M[x, y, z] ta có: \[M{A^2} - M{B^2} = 2.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {1 - x} \right]^2} + {\left[ { - 1 - y} \right]^2} + {\left[ {2 - z} \right]^2} - {\left[ {2 - x} \right]^2} \cr&- {y^2} - {\left[ {1 - z} \right]^2} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 2x + 2y - 2z - 1 = 0. \cr} \]
Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình \[2x + 2y - 2z - 1 = 0.\]
b] Giả sử N[x, y, z] ta có: \[N{A^2} + N{B^2} = 3.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left[ {1 - x} \right]^2} + {\left[ { - 1 - y} \right]^2} + {\left[ {2 - z} \right]^2} + {\left[ {2 - x} \right]^2} \cr&+ {y^2} + {\left[ {1 - z} \right]^2} = 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + y - 3z + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} + {\left[ {y + {1 \over 2}} \right]^2} + {\left[ {z - {3 \over 2}} \right]^2} = {3 \over 4}. \cr} \]
Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm \[I\left[ {{3 \over 2}; - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right]\], bán kính \[{{\sqrt 3 } \over 2}.\]
c] Mặt phẳng [OAB] đi qua O, có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left[ { - 1;3;2} \right]\] nên có phương trình: \[- x + 3y + 2z = 0.\]
Mp[Oxy] có phương trình z = 0.
Điểm M[x, y, z] cách đều mp[OAB] và mp[Oxy] khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& {{\left| { - x + 3y + 2z} \right|} \over {\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right| \Leftrightarrow - x + 3y + 2z = \pm \sqrt {14} z \cr
& \Leftrightarrow x - 3y + \left[ { \pm \sqrt {14} - 2} \right]z = 0. \cr} \]
Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \[\Delta \] có phương trình
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr} \right.\]
trong đó a, b, c thay đổi sao cho \[{c^2} = {a^2} + {b^2}.\]
a] Chứng minh rằng đường thẳng\[\Delta \] đi qua một điểm cố định, góc giữa\[\Delta \] và Oz là không đổi.
b] Tìm quỹ tích các giao điểm của\[\Delta \] và mp[Oxy].
Giải
a]\[\Delta \] đi qua điểm A[1; 1; 5] cố định.
\[\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {a,b,c} \right].\]
Gọi \[\varphi \]là góc giữa \[\Delta \] và trục Oz. Ta có:
\[\cos \varphi = \left| {\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right| = \left| {{c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right| = \left| {{c \over {c\sqrt 2 }}} \right| = {{\sqrt 2 } \over 2}.\]
Suy ra \[\varphi = {45^0}.\]
b] Vì \[{c^2} = {a^2} + {b^2}\]nên \[c \ne 0\][vì nếu c = 0 thì a = b = 0].
Gọi M[x, y, z] là giao điểm của \[\Delta \] và mp[Oxy] thì [x, y, z] thỏa mãn hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + at \hfill \cr
y = 1 + bt \hfill \cr
z = 5 + ct \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 = at \hfill \cr
y - 1 = bt \hfill \cr
t = - {5 \over c} \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right..\]
Từ đó suy ra \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = \left[ {{a^2} + {b^2}} \right].{{25} \over {{c^2}}} = 25\]và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I[1; 1; 0] bán kính bằng 5 và nằm trong mp[Oxy].
Bài 12 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AB = a, BC = b, CC = c.
a] Tính khoảng cách từ điểm A tới mp[ABD].
b] Tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng CD.
c] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và CD.
Giải
a] Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có: \[A'\left[ {0;0;c} \right],\,\,B\left[ {a;0;0} \right],\,\,D\left[ {0;b;0} \right].\]
Phương trình mặt phẳng [ABD] là: \[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} - 1 = 0.\]
Khoảng cách từ A[0; 0; 0] tới mp[ABD] là:
\[d = {{\left| { - 1} \right|} \over {\sqrt {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}} }} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\]
b] Ta có \[C'\left[ {a;b;c} \right].\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {A'C'} = \left[ {a,b,0} \right],\overrightarrow {C'D} = \left[ { - a;0; - c} \right] \cr
& \left[ {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left[ { - bc,ac,ab} \right]. \cr} \]
Khoảng cách từ \[A'\left[ {0,0,c} \right]\]tới đường thẳng CD là:
\[{h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {C'D} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {C'D} } \right|}} = {{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\]
c] Ta có \[\overrightarrow {BC'} = \left[ {0,b,c} \right],\overrightarrow {CD'} = \left[ { - a,0,c} \right],\overrightarrow {BC} = \left[ {0,b,0} \right],\]khoảng cách giữa BC và CD là:
\[{h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {CD'} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {CD'} } \right]} \right|}} = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.\]