Bài 9 trang 171 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tìm các giới hạn sau:
a] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \over {4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\];
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{x - \sqrt x } \over {\sqrt x - 1}}\];
c] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{2{x^4} + 5x - 1} \over {1 - {x^2} + {x^4}}}\];
d] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} } \over {1 - 2x}}\];
e] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right]\];
f] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right]\]
Giải:
a] 4 ; b] 1 ; c] 2; d] \[{1 \over 2}\];
e]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left[ {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right] \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\left[ {{x^2} + 1 - {x^2}} \right]} \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x \over {x\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \]
f]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right] \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 - \left[ {x + 2} \right]} \over {{x^2} - 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ - x - 1} \over {{x^2} - 4}} = - \infty \cr} \]
Bài 10 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xác định một hàm số \[y = f\left[ x \right]\] thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a] f[x] xác định trên R\ {1} ,
b] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left[ x \right] = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left[ x \right] = 2\]và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left[ x \right] = 2\]
Giải :
Chẳng hạn \[f\left[ x \right] = {{2{x^2} + 1} \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\].Dễ dàng kiểm tra được rằng f[x] thoả mãn các điều kiện đã nêu.
Bài 11 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xét tính liên tục của hàm số
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{{{x^2} + 5x + 4} \over {{x^3} + 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne - 1 \hfill \cr
1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = - 1 \hfill \cr} \right.\] trên tập xácđịnh của nó.
Giải:
Hàm số liên tục trên R
Bài 12 trang 172 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xác định một hàm số \[y = f\left[ x \right]\] thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a] \[f\left[ x \right]\]xác định trên R
b] \[y = f\left[ x \right]\]liên tục trên \[\left[ { - \infty ;0} \right]\]và trên \[{\rm{[}}0; + \infty ]\]nhưng gián đoạn tại x = 0
Giải :
Hướng dẫn :Chẳng hạn xét
\[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{
{x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr
x - 1{\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.\]