Bài 9 trang 70 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC có \[a = 12,\,b = 16,\,c = 20\]. Tính diện tích S, chiều cao \[h_a\], các bán kính R, r của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó.
Hướng dẫn trả lời
Ta có \[p = {{a + b + c} \over 2} = {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24\]
Áp dụng công thức Hêrông, ta có
\[\eqalign{
& S = \sqrt {p[p - a][p - b][p - c]} = \sqrt {24.12.8.4} = 96 \cr
& S = {1 \over 2}a.{h_a}\,\,\, \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a} = {{2.96} \over {12}} = 16 \cr
& S = {{abc} \over {4R}}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10 \cr
& S = pr\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4 \cr} \]
Bài 10 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
a]\[\cot A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}}\][ S là diện tích tam giác ABC] ;
b] \[\cot A + \cot B + \cot C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}}\].
Hướng dẫn trả lời
a] Ta có
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}}\,\,;\,\,\,\,S = {1 \over 2}bc.\sin A \cr
& \Rightarrow \,\,\cot A = {{\cos A} \over {\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc.\sin A}} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} \cr} \]
b] Tương tự câu a], ta có
\[\eqalign{
& \,\,\cot B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}}\,\,;\,\,\,\,\cot C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr
& \Rightarrow \,\,\cot A + \cot B + \cot C\cr& = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {4S}} + {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {4S}} \cr
& = \,{{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {4S}} \cr} \]
Bài 11 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hai đường tròn \[[O\,;\,R]\]và \[[{O'}\,;\,{R'}]\] cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB, lấy điểm C ở ngoài hai đường tròn và kẻ hai tiếp tuyến CE, CF đến hai đường tròn đó [ E, F là các tiếp điểm]. Chứng minh rằng CE = CF.
Hướng dẫn trả lời
Ta có
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/[O]}}}} = CA.CB = C{E^2} \cr
& \,\,\,\,\,{\wp _{{C_{/[{O\,'}]}}}} = CA.CB = C{F^2} \cr
& \Rightarrow \,\,\,CE = CF \cr} \]
Bài 12 trang 71 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho đường tròn [O; R]và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.
a] Chứng minh rằng \[A{B^2} + C{D^2}\]không đổi.
b] Chứng minh rằng \[P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\]không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
Hướng dẫn trả lời
a] Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Ta có \[OI \bot AB\,\,;\,\,OJ \bot CD\]
Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có
\[\eqalign{
& A{B^2} + C{D^2} = 4[A{I^2} + C{J^2}] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4[O{A^2} - O{I^2} + C{O^2} - J{O^2}] \cr} \]
\[= 4[2{R^2} - O{P^2}]\] [ không đổi do cố định].
b] Ta có
\[\eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} \cr&= {[\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} ]^2} + {[\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} ]^2} + 2.\overrightarrow {PA} .\,\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\,\overrightarrow {PD} \cr
& = A{B^2} + C{D^2} + 4[P{O^2} - {R^2}] \cr
& = 4[2{R^2} - O{P^2}] + 4[P{O^2} - {R^2}] \cr
& = 4{R^2} \cr} \]
Vậy \[P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\] không phụ thuộc vào vị trí của điểm P