Bài 92 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng cacbon 14 [một đồng vị của cacbon]. Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14. Biết rằng nếu gọi P[t] là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P[t] được tính theo công thức:
\[P\left[ t \right] = 100.{\left[ {0,5} \right]^{{1 \over {5750}}}}\,\left[ \% \right]\]
Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.
Giải
Theo đề bài ta có phương trình:
\[\eqalign{
& P\left[ t \right] = 65 \Leftrightarrow 100{\left[ {0,5} \right]^{{1 \over {5750}}}} = 65 \cr&\Leftrightarrow {\log _{0,5}}100 + {1 \over {5750}} = {\log _{0,5}}65 \cr
& \Leftrightarrow t = 5750{\log _{0,5}}{{65} \over {100}} = {{\ln 0,65} \over {\ln 0,5}}.5750 \approx 3574 \cr} \]
Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 3574 năm.
Bài 93 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải phương trình:
\[\eqalign{
& a]\,{32^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = 0,{25.128^{{{x + 17} \over {x - 3}}}}\,; \cr
& c]\,{4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}}\,; \cr} \]
\[\eqalign{
& b]\,{5^{x - 1}} = {10^x}{.2^{ - x}}{.5^{x + 1}}\,; \cr
& d]\,{3^{4x + 8}} - {4.3^{2x + 5}} + 28 = 2{\log _2}\sqrt 2 . \cr} \]
Giải
a] Ta có: \[{32^{{{x + 5} \over {x - 7}}}} = 0,{25.128^{{{x + 17} \over {x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{{5\left[ {x + 5} \right]} \over {x - 7}}}} = {1 \over 4}{.2^{{{7\left[ {x + 17} \right]} \over {x - 3}}}}\]
\[ \Leftrightarrow {2^{{{5\left[ {x + 5} \right]} \over {x - 7}}}} = {2^{{{7\left[ {x + 17} \right]} \over {x - 3}}-2}} \Leftrightarrow {{5\left[ {x + 5} \right]} \over {x - 7}} = {{7\left[ {x + 17} \right]} \over {x - 3}} - 2\,\,\left[ 1 \right]\]
Điều kiện: \[x \ne 3;\,x \ne 7.\]
[1] \[\Leftrightarrow 5\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 3} \right] = 7\left[ {x + 17} \right]\left[ {x - 7} \right] \]
\[- 2\left[ {x - 7} \right]\left[ {x - 3} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 80x = 800 \Leftrightarrow x = 10\] [nhận]
Vậy \[S = \left\{ {10} \right\}\]
\[b]\,{5^{x - 1}} = {10^x}{.2^{ - x}}{.5^{x + 1}} \Leftrightarrow {1 \over 5}{.5^x} = {{{{10}^x}} \over {{2^x}}}{.5.5^x} \]
\[\Leftrightarrow {1 \over 5} = {5^x}.5 \Leftrightarrow {5^x} = {1 \over {25}} \Leftrightarrow x = - 2\]
Vậy \[S = \left\{ { - 2} \right\}\]
\[\eqalign{
& c]\,\,{4^x} - {3^{x - 0,5}} = {3^{x + 0,5}} - {2^{2x - 1}}\cr& \Leftrightarrow {4^x} + {1 \over 2}{.4^x} = {3^{x - 0,5}} + {3^{x + 0,5}} \cr
& \,\, \Leftrightarrow {3 \over 2}{.4^x} = {3^{x - 0,5}}\left[ {1 + 3} \right] \Leftrightarrow {1 \over 2}{.4^{x - 1}} = {3^{x - 1,5}} \cr
& \,\, \Leftrightarrow {4^{x - 1,5}} = {3^{x - 1,5}} \Leftrightarrow {\left[ {{4 \over 3}} \right]^{x - 1,5}} = 1 \cr&\Leftrightarrow x - 1,5 = 0 \cr
& \,\,\, \Leftrightarrow x = 1,5 \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {1,5} \right\}\]
d] Đặt \[t = {3^{2x + 4}}\,\left[ {t > 0} \right]\]
Ta có phương trình: \[{t^2} - 12t + 28 = 1 \Leftrightarrow {t^2} - 12t + 27 = 0\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 9 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{3^{2x + 4}} = 9 \hfill \cr
{3^{2x + 4}} = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 4 = 2 \hfill \cr
2x + 2 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ { - {3 \over 2}; - 1} \right\}\]
Bài 94 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao
\[\eqalign{
& a]\,{\log _3}\left[ {\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right] = 2\,; \cr
& c]\,1 - {1 \over 2}\log \left[ {2x - 1} \right] = {1 \over 2}\log \left[ {x - 9} \right]\,; \cr} \]
\[\eqalign{
& b]\,{\log _2}\left[ {{{4.3}^x} - 6} \right] - {\log _2}\left[ {{9^x} - 6} \right] = 1\,; \cr
& d]\,{1 \over 6}{\log _2}\left[ {x - 2} \right] - {1 \over 3} = {\log _{{1 \over 8}}}\sqrt {3x - 5} . \cr} \]
Giải
\[\eqalign{
& a]\,\,{\log _3}\left[ {\log _{0,5}^2x - 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right] = 2\cr& \Leftrightarrow \log _{0,5}^2x - 3{\log _{0,5}}x + 5 = 9 \cr
& \Leftrightarrow \log _{0,5}^2x - 3{\log _{0,5}x} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{0,5}x} = - 1 \hfill \cr
{\log _{0,5}x} = 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\left[ {0,5} \right]^{ - 1}} = 2 \hfill \cr
x = {\left[ {0,5} \right]^4} = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ {2;{1 \over {16}}} \right\}\]
b] Ta có: \[{\log _2}\left[ {{{4.3}^x} - 6} \right] - {\log _2}\left[ {{9^x} - 6} \right] = 1 \]
\[\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {{{4.3}^x} - 6} \right] = {\log _2}2\left[ {{9^x} - 6} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{9^x} - 6 > 0 \hfill \cr
{4.3^x} - 6 = 2\left[ {{9^x} - 6} \right] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t > \sqrt 6 \hfill \cr
2{t^2} - 4t - 6 = 0 \hfill \cr} \right.\][với \[t = {3^x}\]]
\[ \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1\]
Vậy \[S = \left\{ 1 \right\}\]
c] Điều kiện: \[x >9\]
\[\eqalign{
& 1 - {1 \over 2}\log \left[ {2x - 1} \right] = {1 \over 2}\log \left[ {x - 9} \right]\cr& \Leftrightarrow 2 = \log \left[ {2x - 1} \right] + \log \left[ {x - 9} \right] \cr
& \Leftrightarrow \log \left[ {2x - 1} \right]\left[ {x - 9} \right] = 2 \cr&\Leftrightarrow \left[ {2x - 1} \right]\left[ {x - 9} \right] = 100 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 19x - 91 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 13 \hfill \cr
x = - 3,5\,\,\left[ \text {loại} \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[x=13\]
d] Điều kiện: \[x > 2\]
Ta có: \[{\log _{{1 \over 8}}}\sqrt {3x - 5} = {\log _{{2^{ - 3}}}}{\left[ {3x - 5} \right]^{{1 \over 2}}} = - {1 \over 6}{\log _2}\left[ {3x - 5} \right]\]
Phương trình đã có trở thành:
\[\eqalign{
& {1 \over 6}{\log _2}\left[ {x - 2} \right] + {1 \over 6}{\log _2}\left[ {3x - 5} \right] = {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x - 2} \right]\left[ {3x - 5} \right] = 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {3x - 5} \right] = 4 \cr
& \Leftrightarrow x = 3\,\,\text{ hoặc }\,\,x = {2 \over 3}. \cr} \]
Với điều kiện \[x > 2\] ta chỉ nhận nghiệm \[x = 3\].
Vậy \[S = \left\{ 3 \right\}\]