Câu 99 trang 151 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:
a] BH = CK
b] ABH = ACK
Giải
a] Vì ABC cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\][tính chất tam giác cân]
Ta có: \[\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
\[\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \][hai góc kề bù]
Suy ra: \[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\]
Xét ABD và ACE, ta có:
AB = AC [gt]
\[\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\][chứng minh trên]
BD = CE [gt]
Suy ra: ABD = ACE [c.g.c]
\[ \Rightarrow \widehat D = \widehat E\][hai góc tương ứng]
Xét hai tam giác vuông BHD và CKE, ta có:
\[\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \]
BD = CE [gt]
\[\widehat D = \widehat E\][chứng minh trên]
Suy ra: BHD = CKE [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: BH = CK [hai cạnh tương ứng]
Xét tam giác vuông AHB và ACK, ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]
AB = AC [gt]
BH = CK [chứng minh trên]
Suy ra: ABH = ACK [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Giải
Kẻ: \[I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\]
Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:
\[\eqalign{
& \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {EBI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
BI cạnh huyền chung
\[ \Rightarrow \]IDB = IEB [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: ID = IE [hai cạnh tương ứng]
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;
\[\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left[ {gt} \right] \cr} \]
CI canh huyền chung
Suy ra: IEC = IFC [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: IE = IF [hai cạnh tương ứng] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
\[\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \]
ID = IF [chứng minh trên]
AI cạnh huyền chung
Suy ra: IDA = IFA [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: \[\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\][hai góc tương ứng]
Vậy AI là tia phân giác của \[\widehat A\]
Câu 101 trang 151 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
Giải
Xét BMI và CMI, ta có:
BM = CM [gt]
\[\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \]
MI cạnh chung
Suy ra: BMI = CMI [c.g.c]
\[ \Rightarrow \]IB = IC [hai cạnh tương ứng]
Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có:
\[\eqalign{
& \widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} = 90^\circ \cr
& \widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I}\left[ {gt} \right] \cr} \]
AI cạnh huyền chung
Suy ra: IHA = IKA [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra: IH = IK [hai cạnh tương ứng]
Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:
\[\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \]
IB = IK [chứng minh trên]
IH = IK [chứng minh trên]
Suy ra: IHB = IKC [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Vậy BH = CK [2 cạnh tương ứng]