Giải bài tập đặc trưng hình học

12/09/2016 Bài tập, câu hỏi

biểu đồ nội lực khung, cơ học, cơ học cơ sở, kéo-nén đúng tâm, lực, sức bền vật liệu, sucbenvatlieu.com, tạ đức tâm, Thanh chịu lực phức tạp, ung suat

2 MB

133

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

     ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục Mômen quán tính của mặt cắt ngang Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính Công thức xoay trục của mômen quán tính 1 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục y dF C y yC O S X  ydF   F  S y xdF  F x xC x 2 Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục Sx, Sy mômen tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với trục x, y có thứ nguyên Sx, Sy là [chiều dài]3 Do x, y có thể âm hoặc dương nên Sx, Sy có thể âm hoặc dương. S =0, S =0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi X y qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ SX=0 thì trục x đi qua trọng tâm mặt cắt. Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm của mặt cắt 3 Trọng tâm mặt cắt Sy  x C  F  y S x  C F 4 Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục J X  y 2 dF   F  2 J y x dF  F JX, Jy là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x, y, có thứ nguyên là [chiều dài]4 5 Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính độc cực [mômen quán tính đối với một điểm] y 2 J P  dF F dF y F p  là khoảng cách từ A[x,y] đến gốc tọa độ, với 2 = x2 +y2 O x x J p  x  y dF J x  J y 2 2 F 6 Mômen quán tính của mặt cắt ngang  Mômen quán tính ly tâm J xy xydF F 7 Mômen quán tính của mặt cắt ngang    Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục quán tính chính qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ trục quán tính trung tâm. Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt ta cũng có thể xác định được một hệ trục quán tính chính. Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành một hệ trục quán tính chính. 8 Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Mặt cắt hình chữ nhật 3 bh Jx  12 3 hb Jy  12 9 Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Mặt cắt hình tam giác 3 bh Jx  12 10 Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Mặt cắt hình tròn R J x J y  2 4 4 D 4 JP  0,1D 32 4 D 4 J x J y  0,05D 64 11 Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản  Mặt cắt ngang hình vành khăn 4 4 4 D d D  JP    1   4  0,1D 4 1   4  32 32 32 4 J P D  J x J y   1   4  0,05D 4 1   4  2 64 12 Bán kính quán tính Jx ix  F iy  ix , iy: bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x và trục y Jy F 13 Bán kính quán tính  Mặt cắt hình chữ nhật: h ix  12  b iy  12 Mặt cắt hình tròn: D i x i y  4  Mặt cắt hình vành khăn: D 2 i x i y  1  4 14 Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính  Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy. Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY X  x  a  Y  y  b 15 Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính J X  J x  2bSx  b 2 F  2 J Y  J y  2aS y  a F  J  J  aS  bS  abF X xy x y Y  16 Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính  Nếu x, y là hệ trục trung tâm, thì Sx = Sy = 0 2 J X  J x  b F  2 J Y  J y  a F  J X Y J xy  abF  Nếu xy là hệ trục quán tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0 2  J X J x  b F  2  J Y J y  a F  J X Y abF 17 Công thức xoay trục của mômen quán tính Vấn đề  Có diện tích mặt cắt ngang F  Giả sử biết: mômen quán tính của diện tích F [Jx, Jy, Jxy] đối với hệ trục Oxy.  Tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục Ouv 18 Công thức xoay trục của mômen quán tính Gọi [u, v] là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta có u = xcos + ysin v = -xsin + ycos [a] Mômen quán tính đối với hệ trục Ouv là  2 J  v  u  dF F   2 J v  u dF F  J  uvdF  uv  F 19 J u J x cos 2   J y sin 2   2J xy sin . cos  2 2 J v J x sin   J y cos   2J xy sin . cos   2 2 J uv J x sin  cos   J y sin  cos   J xy sin   cos  Ju  Jv  Jx  Jy 2 Jx  Jy J uv  2 Jx  Jy 2   Jx  Jy 2 Jx  Jy 2 cos 2  J xy sin 2 cos 2  J xy sin 2 sin 2  J xy cos 2 20  Công thức xoay trục của mômen quán tính  Vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm được xác định từ điều kiện Juv=0 hay tg 2  2J xy Jx  Jy Jx  Jy 1 2 2 Trị số mômen J x  J y   4J xy J max   2 2 quán tính đối với hệ trục quán tính J  J x  J y  1  J  J  2  4J 2 min x y xy 2 2 chính 21 Ví dụ 4.1 Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 22 Ví dụ 4.1  Xác định trọng tâm mặt cắt 3 Fy i yc  i 1 3 F i 5  a 3 i i 1 23 Ví dụ 4.1  Mômen quán tính chính trung tâm F1 x J x J  J F2 x J F3 x 143 4  a 3 F1 y J y J  J 19a F2 y J F3 y 4 24 Ví dụ 4.1  Bán kính quán tính chính Jx 143 2 ix   a 1,993a F 3.12 Jy 19 2 iy   a 1,258a F 12 25 Ví dụ 4.2 Một thanh ghép gồm hai thanh  Thép chữ  có số hiệu N0 20a  Thép góc đều cạnh có số hiệu N08[80x80x6]. Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 26 Ví dụ 4.2 Đối với thép chữ  [số hiệu N0 20a] h = 20cm b = 8cm 1 z 1 = 2,27cm F = 25cm2 J = 1660cm4 J = 137cm4 1 x1 y1 27 Ví dụ 4.2  Đối với thép chữ góc đều cạnh [số hiệu N0 8 [80x80x6] b2= 8cm  z2 = 2,19cm  F2 = 9,38cm2  Jx2 = Jy2 = 57cm4  Jx0 = Jmax = 90,4cm4  Jy0 = Jmin = 23,5cm4 28 Ví dụ 4.2 Xác định trọng tâm mặt cắt: xC 1,217cm yC 2,13cm Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C1 và C2 là tọa độ trọng tâm của thép  và thép V: C1[-1,217; -2,13], C2[3,25; 5,68] 29 Ví dụ 4.2  Mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. F1 X J X J  J F1 Y J Y J  J J XY  J F1 XY F2 X F2 Y J F2 XY 30 Ví dụ 4.2 J  J   YC1  F1 1660  25x 2,132 1773,4cm 4 J F1 X F1 x1 2 F2 X F2 x2 2 J 2   YC 2  F2 57  9,38 5,68 359,6cm 4 J  J   X C1  F1 137  25x1,217 2 173,6cm 4 J F1 Y F1 y1 F2 Y F2 y2 J 2   X C2  F2 57  9,38x 3,25 156cm 2 2 4 31 Ví dụ 4.2  Để tính được mômen quán tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục O2x2y2. J x 2 y2  J x 0  J y0 2 sin2=sin900=1 Jx0y0=0 sin 2  J x 0 y0 cos 2 J x 2y2 990,4  23,5 4  33,45cm 2 32 Ví dụ 4.2 J F1 XY J F1 x1 y1  a1b1 F1 0  1,21x 2,13 x 25 64,4325cm J F2 XY J F2 x2 y 2 4  a2b2 F2 33,45  [3,25 x5,68]9,38 206,6cm 4 33 Ví dụ 4.2 F1 X F2 X F1 Y F2 Y J X J  J J Y J  J J XY  J F1 XY J  2133cm 330cm F2 XY 4 4  271cm 4 34 Ví dụ 4.2 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là: 2J XY 2x 271 tan 2      0,301 JX  JY 2133  330 Giải ra ta được 1= -8036’, 2=81024’ 35 Ví dụ 4.2 Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm J max min JX  JY   2 JX  2 J Y   4J 2XY 2 2 J max min 2  2133  330  4.271 2133  330   2 2 2171,5cm  4 292,5cm 4 36 Ví dụ 4.3  Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt 37 Xác định trọng tâm mặt cắt Chọn hệ trục xOy, chia mặt cắt thành hai hình, trọng tâm mặt cắt được xác định từ công thức xC 1,5a yC 4a Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa độ C[1,5a; 4a]. Qua C lập hệ trục trung tâm XCY, khi đó C1, C2 đối với hệ trục XCY là C1  0,5a, a  C 2   a, 2a  38 Ví dụ 4.3 Mômen quán tính chính F1 X J X J  J F1 Y F2 X J Y J  J J XY  J F1 XY 32a F2 Y J 4 17a F2 XY 4 12a 4 39 Ví dụ 4.3 Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 2J XY 2x12a 4 tan 2      1,6 4 4 JX  JY 32a  17a Giải ra ta được 1= -290, 2=610 40 Ví dụ 4.3  Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là: J max min JX  JY   2 4 J max min 4  JX  4 2 J Y   4J 2XY 2 4 2   32a  17a  4 12a 32a  17a   2 2 4 2  38,65a 4  10,85a 4 41

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

8 271 KB 0 20

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

Chương 4 Đặc trưng hình học của tiết diện 4.1. Tóm tắt lý thuyết 4.1.1. Các định nghĩa Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M[x,y] thuộc mặt cắt ngang lấy vi phân diện tích Da. a. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: Sx = ∫ ydA [4.1] [ A] Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: Sy = ∫ xdA [4.2] [ A] Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương, bằng 0, hoặc âm. b. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox Ix = ∫ y dA 2 [4.3] [ A] Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox Iy = ∫ x dA 2 [4.4] [ A] Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn dương c. Mô men quán tính độc cực [mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một điểm ] Ip = ∫ ρ dA = I 2 x + Iy [4.5] [ A] Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 1 Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài4 ], giá trị của nó luôn luôn dương d. Mô men quán tính ly tâm [mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một hệ trục ] I xy = ∫ xydA [4.6] [ A] Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài4 ], giá trị của nó có thể là dương, bằng 0, hoặc âm. 4.1.2. Các khái niệm 1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0. 2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm 3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0. 4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang. 4.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C[xC, yC] trong hệ trục này. Ta có: xC = Sy A ; yC = Sx A [4.7] Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản Ai với tọa độ trọng tâm mỗi hình đơn giản là Ci[ xCi,yCi] trong hệ toạ độ ban đầu, thì: n xC = Sy A = ∑ xCi Ai i =1 n ∑A i =1 n Sx ∑ = i =1n ; yC = A i yCi Ai ∑A i =1 [4.8] i Chú ý: - Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 2 - Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm. 4.1.4. Công thức chuyển trục song song Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox, O'v//Oy và: u = x+b ; v= y+a [4.9] v y b v dA y O O x x a u u Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là: Su = S x + a. A Sv = S y + b. A I u = I x + 2aS x + a 2 A [4.10] I v = I y + 2bS y + b 2 A I uv = I xy + aS y + bS x + abA Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang A [O đi qua trọng tâm] thì công thức [4.8] có dạng đơn giản hơn: Su = a. A Sv = b. A Iu = I x + a 2 A [4.11] I v = I y + b2 A I uv = I xy + abA Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên hình vẽ [ u phía dưới x và v bên trái y] Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 3 4.1.5. Công thức xoay trục Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ trục mới Ouv xoay một góc α so với hệ trục Oxy như hình vẽ [ α theo chiều ngược chiều kim đồng hồ]. Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là: u = xcosα +ysinα ; v = − xsinα +ycosα [4.12] y v dA y u v α u x x O Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là: Su = − S y sin α + S x cosα Sv = S y cosα + S x sin α Ix + I y Iu = + 2 Ix + Iy Iv = I uv = 2 Ix − Iy 2 − Ix − Iy 2 Ix − Iy 2 cos2α -I xy sin 2α [4.13] cos2α +I xy sin 2α sin 2α + I xy cos2α 4.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản a. Hình chữ nhật bh3 hb3 ; Iy = 12 12 b. Hình tròn Ix = Ip = π R4 2 = π D4 32 [4.14] 0,1D 4 ; I x = I y = Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường π R4 4 = π D4 64 0,05D 4 [4.15] Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 4 c. Hình tam giác bh3 Ix = 12 [4.16] y y h h x x x b D b 4.2. Đề bài tập tự giải Bài 4.1: Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây y y y α R x 1 x 3 2 c α R b h y x a 4 Bài 4.2: Xác định các mô men quán tính I x , I xC của các tiết diện sau [C là trọng tâm tiết diện]: Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 5 yC y C h xC D xC C x x b 1 2 a y b h C a b a xC b 3 C x 4 x xC Bài 4.3: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện 10a R 2R 2a 4a R Bài 4.4: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện [đơn vị đo trên hình vẽ bằng mm] 30 10 20 100 20 20 100 150 200 40 20 100 150 120 Bài 4.5: Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho a=1cm. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 6 a a a 100x100x8 160x160x10 Bài 4.6: Biết các mô men quán tính Ix=365cm4, Iy=117cm4 và Iu=281,6cm4 của thép góc không đều cạnh L125 × 80 × 12mm. Tìm các trục chính và các mô men quán tính chính của mặt cắt ngang. y u 0 60 x Bài 4.7: Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ. 100x100x10 N o 27 Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 7 Bài 4.8: Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau. N o 24 N o 20 a Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường a Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 8

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề