Câu hỏi trắc nghiệm chương III
Bài 1.Cho ba điểm M[2; 0; 0], N[0; - 3; 0], P[0; 0; 4]. Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
[A] [-2; -3; 4] [B] [3; 4; 2]
[C] [2; 3; 4] [D] [-2; -3; -4]
Giải
MNPQ là hình bình hành
\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 - 2 = 0 - {x_Q} \hfill \cr
- 3 - 0 = 0 - {y_Q} \hfill \cr
0 - 0 = 4 - {z_Q} \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_Q} = 2 \hfill \cr
{y_Q} = 3 \hfill \cr
{z_Q} = 4 \hfill \cr} \right.\]
Vậy Q[2; 3; 4].
Chọn [C].
Bài 2.Cho ba điểm \[A\left[ {1;2;0} \right]\,\,,\,\,B\left[ {1;0; - 1} \right]\,\,,\,\,C\left[ {0; - 1;2} \right].\]Tam giác ABC là:
[A] Tam giác cân đỉnh A;
[B] Tam giác vuông đỉnh A;
[C] Tam giác đều;
[D] Không phải như [A], [B], [C].
Giải
Ta có
\[\eqalign{
& AB = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {-1 - 0} \right]}^2}} = \sqrt 5 \cr
& AC = \sqrt {{{\left[ {0 - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 1 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 0} \right]}^2}} = \sqrt {14} \cr
& BC = \sqrt {{{\left[ {0 - 1} \right]}^2} + {{\left[ { - 1 - 0} \right]}^2} + {{\left[ {2 + 1} \right]}^2}} = \sqrt {11} \cr
& \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} \cr} \]
\[AC>BC>AB\]
Chọn [D]
Bài 3.Cho tam giác ABC có A=[1;0;1], B=[0;2;3], C[2;1;0]. Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:
[A] \[\sqrt {26} \] [B] \[{{\sqrt {26} } \over 2}\] [C] \[{{\sqrt {26} } \over 3}\] [D] 26
Giải
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: \[h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over 3}.\]
Chọn [C].
Bài 4.Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là \[\left[ {1;1;1} \right]\,\,;\,\,\left[ {2;3;4} \right]\,\,;\,\,\left[ {6;5;2} \right].\]Diện tích hình bình hành đó bằng:
[A] \[2\sqrt {83} \] [B] \[\sqrt {83} \] [C] 83 [D] \[{{\sqrt {83} } \over 2}\]
Giải
A[1; 1; 1], B[2; 3; 4], C[6; 5; 2].
\[{S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 2\sqrt {83} .\]
Chọn [A].
Bài 5.Cho \[A\left[ {1;0;0} \right]\,\,;\,\,B\left[ {0;1;0} \right]\,\,;\,\,C\left[ {0;0;1} \right]\] và \[D\left[ { - 2;1; - 1} \right]\]. Thể tích của tứ diện ABCD là:
[A] 1 [B] 2 [C] \[{1 \over 3}\] [D] \[{1 \over 2}\]
Giải
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left[ { - 1;1;0} \right],\overrightarrow {AC} \left[ { - 1;0;1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 1\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ {1;1;1} \right] \cr
& \overrightarrow {AD} \left[ { - 3;1; - 1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.\left[ { - 3} \right] + 1.1 + 1.\left[ { - 1} \right] \cr&= - 3 \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = {3 \over 6} = {1 \over 2}. \cr} \]
Chọn D
Bài 6.Cho \[A\left[ { - 1; - 2;4} \right]\,\,;\,\,B\left[ { - 4; - 2;0} \right]\,\,;\,\,C\left[ {3; - 2;1} \right]\] và \[D\left[ {1;1;1} \right]\]. Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:
[A] 3 [B] 1 [C] 2 [D] \[{1 \over 2}\]
Giải
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp[ABC].
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left[ { - 3;0; - 4} \right],\overrightarrow {AC} \left[ {4;0; - 3} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] \cr&= \left[ {\left| \matrix{
0\,\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 3 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr
4\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ {0; - 25;0} \right] = - 25\left[ {0;1;0} \right] \cr} \]
Suy ra mặt phẳng [ABC] đi qua A và nhận \[\overrightarrow n = \left[ {0;1;0} \right]\] là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng [ABC]: \[y + 2 = 0\].
\[ \Rightarrow h = d\left[ {D;\left[ {ABC} \right]} \right] = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt 1 }} = 3.\]
Chọn [A].
Bài 7.Cho bốn điểm \[A\left[ {1;1;1} \right]\,\,,\,\,B\left[ {1;2;1} \right]\,\,,C\left[ {1;1;2} \right]\] và \[D\left[ {2;2;1} \right].\] Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
[A] \[\left[ {{3 \over 2}, - {3 \over 2},{3 \over 2}} \right]\] [B] \[\left[ {{3 \over 2},{3 \over 2},{3 \over 2}} \right]\]
[C] \[\left[ {3;3;3} \right]\] [D] \[\left[ {3; - 3;3} \right].\]
Giải
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\,\,\left[ 1 \right]\]
Thay tọa độ của A, B, C, D vào [1] ta được hệ phương trình
\[\left\{ \matrix{
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr
6 - 2a - 2b - 4c + d = 0 \hfill \cr
9 - 4a - 4b - 2c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = b = c = {3 \over 2} \hfill \cr
d = 6 \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow I\left[ {{3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2}} \right]\].
Chọn [B].
Bài 8.Bán kính mặt cầu tâm I[3;3;-4] tiếp xúc với trục Oy bằng:
[A] 5 [B] 4 [C] \[\sqrt 5 \] [D] \[{5 \over 2}.\]
Giải
Hình chiếu của I trên trục Oy là I[0; 3; 0].
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng \[R = II' = \sqrt {{[-3]^2} + {4^2}} = 5.\]
Chọn [A].
Bài 9.Mặt cầu tâm \[I\left[ {2;1; - 1} \right]\]tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ [Oyz] có phương trình là:
[A] \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 4;\]
[B] \[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 1;\]
[C] \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 1} \right]^2} = 4;\]
[D] \[{\left[ {x + 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 2.\]
Giải
Mp[Oyz] có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp[Oyz] là \[R = {{\left| 2 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.\]
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
\[{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 1} \right]^2} = 4\]
Chọn [A].
Bài 10.Cho ba điểm \[A\left[ {1;1;3} \right],\,\,B\left[ { - 1;3;2} \right]\] và \[C\left[ { - 1;2;3} \right].\]Mặt phẳng [ABC] có phương trình là:
[A] \[x + 2y + 2z - 3 = 0\]
[B] \[x - 2y + 3z - 3 = 0;\]
[C] \[x + 2y + 2z - 9 = 0;\]
[D] \[{x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\].
Giải
Mp[ABC] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {1;2;2} \right].\]
Vậy phương trình mặt phẳng [ABC] là:\[x + 2y + 2z - 9 = 0\]
Chọn [C].
Bài 11.Cho ba điểm \[A\left[ {1;0;0} \right],\,\,B\left[ {0;2;0} \right],\,\,C\left[ {0;0;3} \right].\]Phương trình nào sau đâykhông phảilà phương trình mặt phẳng [ABC]?
[A] \[x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\]
[B] \[6x + 3y + 2z - 6 = 0;\]
[C] \[6x + 3y + 2z + 6 = 0;\]
[D] \[12x + 6y + 4z - 12 = 0.\]
Giải
Mp[ABC] \[{x \over 1} + {y \over 2} + {z \over 3} = 1\]
Chọn [C].
Bài 12.Cho hai điểm \[A\left[ {1;3; - 4} \right]\] và \[B\left[ { - 1;2;2} \right]\]. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
[A] \[4x + 2y - 12z - 17 = 0;\]
[B] \[4x + 2y + 12z - 17 = 0;\]
[C] \[4x - 2y - 12z - 17 = 0;\]
[D] \[4x - 2y + 12z + 17 = 0.\]
Giải
\[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 2; - 1;6} \right].\]
Trung điểm AB là \[I\left[ {0;{5 \over 2}; - 1} \right]\].
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \]nên có dạng: \[- 2\left[ {x - 0} \right] - \left[ {y - {5 \over 2}} \right] + 6\left[ {z + 1} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow 4x + 2y - 12z - 17 = 0.\]
Chọn [A].
Bài 13.Cho A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c], a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \[{1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 2.\]Mặt phẳng [ABC] luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:
[A] [1; 1; 1] [B] [2; 2; 2]
[C] \[\left[ {{1 \over 2},{1 \over 2},{1 \over 2}} \right]\] [D] \[\left[ { - {1 \over 2}, - {1 \over 2}, - {1 \over 2}} \right]\].
Giải
Phương trình mp[ABC]: \[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\]
Mp[ABC] đi qua điểm \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\] cố định.
Chọn [C].
Bài 14.Cho điểm \[A\left[ { - 1;2;1} \right]\] và hai mặt phẳng \[\left[ P \right]:2x + 4y - 6z - 5 = 0\]và \[\left[ Q \right]:x + 2y - 3z = 0.\] Mệnh đề nào sau đây là đúng?
[A] Mp[Q] qua A và song song với [P];
[B] Mp[Q] không qua A và song song với [P];
[C] Mp[Q] qua A và không song song với [P];
[D] Mp[Q] không qua A và không song song với [P].
Giải
\[A \in \left[ Q \right]\] và [Q] // [P].
Chọn [A].
Bài 15.Cho điểm \[A\left[ {1;2; - 5} \right]\]. Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng [MNP] là:
[A] \[x + {y \over 2} - {z \over 5} = 1;\] [B] \[x + {y \over 2} + {z \over 5} = 1;\]
[C] \[x + {y \over 2} - {z \over 5} = 0;\] [D] \[x + {y \over 2} - {z \over 5} + 1 = 0.\]
Giải
Ta có \[M\left[ {1;0;0} \right];N\left[ {0;2;0} \right],P\left[ {0;0; - 5} \right].\]
Mp[MNP]: \[{x \over 1} + {y \over 2} + {z \over { - 5}} = 1.\]
Chọn [A].
Bài 16. Cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left[ {x + y + z} \right] - 22 = 0\] và mặt phẳng [P]: \[3x - 2y + 6z + 14 = 0.\] Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu [S] tới mặt phẳng [P] là:
[A 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4.
Giải
Tâm I[1; 1; 1].
\[d\left[ {I;\left[ P \right]} \right] = {{\left| {3 - 2 + 6 + 14} \right|} \over {\sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.\]
Chọn [C].
Bài 17.Mặt phẳng [P] cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là \[G\left[ { - 1; - 3;2} \right]\]. Phương trình mặt phẳng [P] là:
[A] \[x + y - z - 5 = 0;\]
[B] \[2x - 3y - z - 1 = 0;\]
[C] \[x + 3y - 2z + 1 = 0;\]
[D] \[6x + 2y - 3z + 18 = 0.\]
Giải
Giả sử A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c] thì \[G\left[ {{a \over 3};{b \over 3};{c \over 3}} \right] \Rightarrow a = - 3,\,\,b = - 9,\,\,c = 6.\]
Mp[ABC]: \[{x \over { - 3}} + {y \over { - 9}} + {z \over 6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0.\]
Chọn [D].
Bài 18.Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng [AMD].
Một học sinh làm như sau:
Bước 1:Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
\[\eqalign{
& A = \left[ {0;0;0} \right]\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E = \left[ {2;0;0} \right] \cr
& D = \left[ {0;1;0} \right]\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A' = \left[ {0;0;1} \right] \cr} \]
Bước 2.Viết phương trình mặt phẳng [AMD]:
\[{x \over 2} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\]
Bước 3.Khoảng cách \[d\left[ {A;\left[ {A'MD} \right]} \right] = {{\left| { - 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\]
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
[A] Đúng; [B] Sai ở bước 1;
[C] Sai ở bước 2; [D] Sai ở bước 3.
Giải
Chon A
Bài 19.Cho hai điểm \[A\left[ {1; - 1;5} \right]\] và \[B\left[ {0;0;1} \right]\]. Mặt phẳng [P] chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:
[A] \[4x - z + 1 = 0\]
[B] \[4x + y - z + 1 = 0\]
[C] \[2x + z - 5 = 0\]
[D] \[y + 4z - 1 = 0.\]
Giải
Mp[P] qua A và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right]\] với \[\overrightarrow j = \left[ {0;1;0} \right].\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left[ { - 1;1; - 4} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow j } \right] = \left[ {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 4\,\,\, - 1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ {4;0; - 1} \right] \cr} \]
Chon A
Bài 20.Mặt phẳng [P] chứa trục Oz và điểm \[A\left[ {2; - 3;5} \right]\]có phương trình là:
[A] \[2x + 3y = 0;\] [B] \[2x - 3y = 0;\]
[C] \[3x + 2y = 0;\] [D] \[3x - 2y + z = 0.\]
Giải
Mp[P] qua O và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow k } \right]\]với \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right].\]
\[\eqalign{
& \overrightarrow {OA} \left[ {2; - 3;5} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow k } \right] = \left[ {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,5 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \cr&= \left[ { - 3; - 2;0} \right] \cr} \]
Chọn C
Bài 21.Cho mặt phẳng [P] có phương trình \[x - y - 1 = 0.\]Điểm \[H\left[ {2; - 1; - 2} \right]\]là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng [Q]. Góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q] là:
[A] \[{30^0}\] [B]\[{45^0}\] [C]\[{60^0}\] [D] \[{90^0}\]
Giải
mp[Q] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow m = \overrightarrow {OH} = \left[ {2; - 1; - 2} \right]\]
Mp[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {1; - 1;0} \right]\].
\[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng [P] và [Q] thì:
\[\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow m .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow m } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = {{\left| {2 + 1} \right|} \over {\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = {45^0}.\]
Chọn [B].
Bài 22.Cho điểm A[1; 2; 3] và đường thẳng \[d:{x \over 3} = {{y - 1} \over 4} = z + 3\]. Phương trình mặt phẳng [A,d] là:
[A] \[23x + 17y - z + 14 = 0\]
[B] \[23x - 17y - z + 14 = 0;\]
[C] \[23x + 17y + z - 60 = 0;\]
[D] \[23x - 17y + z - 14 = 0.\]
Giải
d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {3,4,1} \right]\] và đi qua \[M\left[ {0,1, - 3} \right].\]
Mp[A, d] qua A và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right].\]
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\[23x - 17y - z + 14 = 0\]
Chọn [B].
Bài 23.Cho hai đường thẳng
\[{d_1}:{{x - 1} \over 1} = {y \over 2} = {{z - 3} \over 3}\,\,;\,\,\,{d_2}:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 6t. \hfill \cr} \right.\]
Khẳng định nào sau đây là đúng?
[A] \[{d_1},{d_2}\]cắt nhau; [B] \[{d_1},{d_2}\] trùng nhau;
[C] \[{d_1}//{d_2}\]; [D] \[{d_1},{d_2}\]chéo nhau.
Giải
\[{d_1},{d_2}\] có cùng vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1,2,3} \right]\]và \[A\left[ {1,0,3} \right] \in {d_1},\]nhưng \[A \notin {d_2}.\] Vậy \[{d_1}\]// \[{d_2}\]
Chọn [C].
Bài 24.Cho mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]:x + 3y + z + 1 = 0\] và đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 2 - 3t. \hfill \cr} \right.\] Tọa độ giao điểm A của d và\[\left[ \alpha \right]\]là:
[A] A[3; 0; 4] [B] \[A\left[ {3; - 4;0} \right]\]
[C] \[A\left[ { - 3;0;4} \right]\] [D] \[A\left[ {3;0; - 4} \right]\].
Giải
Thay x, y, z từ d vào \[\left[ \alpha \right]\] ta có: \[1 + t + 3\left[ {2 - t} \right] + 2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\]
Vậy \[A\left[ {3,0, - 4} \right].\]
Chọn [D].
Bài 25.Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 2 + t. \hfill \cr} \right.\]
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
[A]
\[\left\{ \matrix{
x = 2 - 2t \hfill \cr
y = - t \hfill \cr
z = 3 + t\,; \hfill \cr} \right.\]
[B]
\[\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 4 - t\,; \hfill \cr} \right.\]
[C]
\[\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = 1 - t \hfill \cr
z = 4 + t\,; \hfill \cr} \right.\]
[D]
\[\left\{ \matrix{
x = 2t \hfill \cr
y = 1 + t \hfill \cr
z = 2 + t\,. \hfill \cr} \right.\]
Giải
d đi qua \[M\left[ {4, - 1,4} \right]\]có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;1} \right].\]
Chọn [B].
Bài 26.Cho hai điểm \[A\left[ {2;3; - 1} \right],B\left[ {1;2;4} \right]\] và ba phương trình sau:
\[\left[ I \right]\,\,\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t\,; \hfill \cr} \right.\]
\[\left[ {II} \right]\,\,{{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 1} = {{z + 1} \over { - 5}};\]
\[\left[ {III} \right]\,\,\left\{ \matrix{
x = 1 - t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 4 + 5t\,. \hfill \cr} \right.\]
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
[A] Chỉ có [I] là phương trình của đường thẳng AB;
[B] Chỉ có [III] là phương trình của đường thẳng AB;
[C] Chỉ có [I] và [II] là phương trình của đường thẳng AB;
[D] Cả [I], [II] và [III] là phương trình của đường thẳng AB.
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB} = \left[ { - 1, - 1,5} \right].\]
Chọn [D].
Bài 27.Cho ba điểm A[1; 3; 2], B[1; 2; 1], C[1; 1; 3]. Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \]đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp[ABC].
Một học sinh làm như sau:
Bước 1:Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
\[\left\{ \matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} \over 3} = 1 \hfill \cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} \over 3} = 2 \hfill \cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} \over 3} = 2. \hfill \cr} \right.\]
Bước 2:Vectơ pháp tuyến của mp[ABC] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ { - 3;1;0} \right].\]
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta \] là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 - 3t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 2. \hfill \cr} \right.\]
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
[A] Đúng; [B] Sai ở bước 1;
[C] Sai ở bước 2; [D] Sai ở bước 3.
Giải
\[\overrightarrow {AB} = \left[ {0, - 1, - 1} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {0, - 2,1} \right],\]
\[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ { - 3,0,0} \right].\]
Chọn [C].
Bài 28.Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng
\[\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = 1 - 3t. \hfill \cr} \right.\]
Phương trình của d là:
[A]
\[\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\]
[B]
\[\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - t\,; \hfill \cr} \right.\]
[C] \[{x \over 1} = {y \over 3} = {z \over { - 1}};\]
[D]
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = t\,. \hfill \cr} \right.\]
Giải
Ox có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i = \left[ {1,0,0} \right].\]
\[\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1, - 1, - 3} \right].\]
d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left[ {0,3, - 1} \right].\]
Chọn [D].
Bài 29.Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 4 + 2t\, \hfill \cr} \right.\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x + 2y - z + 3 = 0.\] Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
[A] d song song với [P]; [B] d cắt [P];
[C] d vuông góc với [P]; [D] d nằm trên [P].
Giải
\[A\left[ {3, - 1,4} \right],B\left[ { - 1,0,2} \right] \in d\] và \[A,B \in \left[ P \right].\]
Chọn [D].
Bài 30.Cho điểm A[1; 1; 1] và đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr
y = - 2 - t \hfill \cr
z = - 1 + 2t\,. \hfill \cr} \right.\]
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
[A] \[\left[ {2; - 3;1} \right];\] [B] \[\left[ {2; - 3; - 1} \right];\]
[C] \[[2; 3; 1]\]; [D] \[\left[ { - 2;3;1} \right].\]
Giải
Giả sử \[H\left[ {6 - 4t, - 2 - t, - 1 + 2t} \right]\]là hình chiếu của A trên d. Ta có \[\overrightarrow {AH} \]vuông góc với \[\overrightarrow u = \left[ { - 4, - 1,2} \right]\][là vectơ chỉ phương của d].
Ta có \[\overrightarrow {AH} = \left[ {5 - 4t, - 3 - t, - 2 + 2t} \right].\]
\[\overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0 \]
\[\Leftrightarrow - 4\left[ {5 - 4t} \right] + 3 + t + 2\left[ { - 2 + 2t} \right] = 0 \Leftrightarrow t = 1.\]
Vậy \[H\left[ {2, - 3,1} \right].\]
Chọn [A].
Bài 31.Cho tứ diện ABCD có A[1; 0; 0], B[1; 1; 0], C[0; 1; 0] và D[0; 0; 2].
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1:\[\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1;1;0} \right],\,\,\overrightarrow {BD} = \left[ { - 1; - 1;2} \right],\]
\[\overrightarrow {AB} = \left[ {0;1;0} \right].\]
Bước 2: \[\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left[ {2;2;2} \right]\].
Bước 3:\[d\left[ {AC,BD} \right] = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}} = {2 \over {\sqrt {12} }} = {{\sqrt 3 } \over 3}.\]
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
[A] Đúng; [B] Sai ở bước 1;
[C] Sai ở bước 2; [D] Sai ở bước 3.
Giải
Bài toán trên đúng.
Chọn [A].
Bài 32.Cho \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = {\pi \over 3}.\]Góc giữa vectơ \[\overrightarrow u \]và \[\overrightarrow u - \overrightarrow v \]bằng:
[A] \[{30^0}\] [B] \[{45^0}\]
[C]\[{60^0}\] [D] \[{90^0}\]
Giải
Ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = 2.1.{1 \over 2} = 1 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \left[ {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right] = \overrightarrow u .\overrightarrow v - {\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = 1 - 1 = 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow v \bot \left[ {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right]. \cr} \]
Chọn [D].
Bài 33.Cho \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = {\pi \over 6}.\]Độ dài vectơ \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\]bằng:
[A] 10 [B] 5;
[C] 8; [D] \[5\sqrt 3 .\]
Giải
\[\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = 2.5.{1 \over 2} = 5.\]
Chọn [B].
Bài 34.Mặt phẳng \[2x - 3y + z - 1 = 0\] cắt các trục tọa độ tại các điểm:
[A] \[\left[ {{1 \over 2};0;0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0; - {1 \over 3};0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;0;1} \right];\]
[B] \[\left[ {1;0;0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;{1 \over 3};0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;0;1} \right];\]
[C] \[\left[ {{1 \over 2};0;0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;{1 \over 3};0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;0;1} \right];\]
[D] \[\left[ {{1 \over 2};0;0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0; - {1 \over 3};0} \right]\,\,,\,\,\left[ {0;0; - 1} \right].\]
Giải
\[\eqalign{
& y = z = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2},x = z = 0 \Rightarrow y = - {1 \over 3}. \cr
& x = y = 0 \Rightarrow z = 1. \cr} \]
Chọn [A].
Bài 35.Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = - {9 \over 5} - t \hfill \cr
y = 5t \hfill \cr
z = {7 \over 5} + 3t\, \hfill \cr} \right.\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:3x - 2y + 3z - 1 = 0.\]Gọi d là hình chiếu của d trên [P]. Trong các vectơ sau, vectơ nàokhông phảilà vectơ chỉ phương của d ?
[A] \[\left[ {5; - 51;39} \right];\]
[B] \[\left[ {10; - 102; - 78} \right];\]
[C] \[\left[ { - 5;51;39} \right];\]
[D] \[\left[ {5;51;39} \right].\]
Giải
Vì ba vectơ của [A], [B], [C] cùng phương nên chọn [D].
Bài 36.Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DD. Chứng minh rằng \[AC' \bot \left[ {MNP} \right].\]
Một học sinh làm như sau:
Bước 1:Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A[0; 0; 0], C[1; 1; 1],
\[M = \left[ {{1 \over 2};0;1} \right],N\left[ {1;{1 \over 2};0} \right],P\left[ {0;1;{1 \over 2}} \right].\]
Bước 2:\[\overrightarrow {AC'} = \left[ {1;1;1} \right],\overrightarrow {MN} = \left[ {{1 \over 2};{1 \over 2}; - 1} \right],\]
\[\overrightarrow {MP} = \left[ { - {1 \over 2};1; - {1 \over 2}} \right].\]
Bước 3:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MP} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC' \bot \left[ {MNP} \right].\]
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
[A] Đúng; [B] Sai ở bước 1;
[C] Sai ở bước 2; [D] Sai ở bước 3.
Giải
Bài toán trên giải đúng
chọn A
Bài 37.Cho đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\]
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
[A]
\[\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\]
[B]
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\]
[C]
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 2 - t \hfill \cr
z = t\,; \hfill \cr} \right.\]
[D]
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t\,. \hfill \cr} \right.\]
Giải
Phương trình tham số của trục Ox là
\[\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Lấy \[P\left[ {0,t,2 - t} \right] \in d\]và \[Q'\left[ {t',0,0} \right] \in {\rm{Ox}}{\rm{.}}\]
\[\overrightarrow {PQ} = \left[ {t', - t,t - 2} \right],\] d có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {0,1, - 1} \right].\]
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow i = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- t - t + 2 = 0 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t' = 0 \hfill \cr} \right..\]
Vậy \[P\left[ {0,1,1} \right],Q\left[ {0,0,0} \right].\]
PQ có phương trình
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right..\]
Chọn [D].
Bài 38.Cho mặt phẳng [P]: \[x - 2y - 3z + 14 = 0\]và điểm \[M\left[ {1; - 1;1} \right]\]. Tọa độ của điểm M đối xứng với M qua mp[P] là
[A] \[\left[ { - 1;3;7} \right];\]
[B] \[\left[ {1; - 3;7} \right];\]
[C] \[\left[ {2; - 3; - 2} \right];\]
[D] \[\left[ {2; - 1;1} \right].\]
Giải
[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {1, - 2, - 3} \right].\]
\[M'\left[ {x,y,z} \right]\] đối xứng với M qua mp[P] khi và chỉ khi \[\overrightarrow {MM'} \]cùng phương với \[\overrightarrow n \] và trung điểm I của MM nằm trên [P].
Ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 1} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z - 1} \over { - 3}} \hfill \cr
{{x + 1} \over 2} - 2{{y - 1} \over 2} - 3{{z + 1} \over 2} + 14 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr
z = 7 \hfill \cr} \right..\]
Chọn [A].
Bài 39.Cho điểm \[A\left[ {0; - 1;3} \right]\] và đường thẳng
\[d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr
z = - t\,. \hfill \cr} \right.\]
Khoảng cách từ A đến d bằng:
[A] \[\sqrt 3 ;\] [B] \[\sqrt {14} ;\]
[C] \[\sqrt 6 ;\] [D] \[\sqrt 8 .\]
Giải
d đi qua \[M[1, 2, 0]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2,0, - 1} \right].\]
Khoảng cách từ A đến d bằng \[{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt {14} .\]
Chọn [B].
Bài 40.Cho điểm \[M\left[ { - 1;2; - 3} \right].\]Gọi \[{M_1},{M_2},{M_3}\]lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng [Oxy], [Oxz], [Oyz]. Phương trình \[mp\left[ {{M_1}{M_2}{M_3}} \right]\] là:
[A] \[6x + 2y + 3z + 6 = 0;\]
[B] \[6x - 2y + 3z + 6 = 0;\]
[C] \[6x - 3y + 2z + 6 = 0;\]
[D] \[6x - 3y - 2z + 6 = 0.\]
Giải
\[{M_1}\left[ { - 1,2,3} \right],{M_2}\left[ { - 1, - 2, - 3} \right],{M_3}\left[ {1,2, - 3} \right];\]
\[mp\left[ {{M_1}{M_2}{M_3}} \right]\] qua có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_3}} } \right].\]
Chọn [C].
Bài 41.Cho mặt cầu \[\left[ S \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 49.\] Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu [S] ?
[A] \[6x + 2y + 3z = 0;\]
[B] \[2x + 3y + 6z - 5 = 0;\]
[C] \[6x + 2y + 3z - 55 = 0;\]
[D] \[x + 2y + 2z - 7 = 0.\]
Giải
[S] có tâm \[I\left[ {1, - 3,2} \right],\]bán kính R = 7.
\[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = 7.\]
Chọn [C].
Bài 42.Cho mặt cầu [S]: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\] Trong ba điểm [0; 0; 0]; [1; 2; 3], [2; -1; -1], có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu [S] ?
[A] 0 ; [B] 1 ;
[C] 2 ; [D] 3.
Giải
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào [S]. Ta có \[O \in \left[ S \right].\]
Chọn [B].