Giáo trình Cơ sở toán học Nguyễn Gia Định

Bộ giáo dục và đào tạo đại học huế trờng đại học khoa học nguyễn gia định giáo trình CƠ Sở TOáN HọC {a}{a,b,c}{a,b}{c}{b}{a,c}{b,c} huế 2005 L`O.IN´OI D-ˆA`UNh˜u.ng ngu.`o.im´o.ib˘a´td¯ˆa`u nghiˆen c´u.u to´an ho.cthu.`o.ng ca’m thˆa´y kh´o xˆaydu..ng th´oi quen ph´at biˆe’umˆo.t c´ach ch˘a.t ch˜e nh˜u.ng ´y kiˆe´nmuˆo´n tr`ınh b`ay, kh´oho.ctˆa.p c´ac phu.o.ng ph´ap lˆa.p luˆa.n d¯´ung d¯˘a´n v`a kh´o n˘a´md¯u.o..c c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c. Nh˜u.ng kh´o kh˘an n`ay du.`o.ng nhu.b˘a´t nguˆo`nt`u.chˆo˜:mˆo.tl`akhˆong d¯u.o..c luyˆe.ntˆa.pvˆe`lˆogic to´an, mˆo.tchu’d¯ ˆe`nghiˆen c´u.u c´ach lˆa.p luˆa.n suydiˆe˜n ´ap du.ng v`ao viˆe.cch´u.ng minh c´ac d¯i.nh l´y to´an ho.c; hai l`a do thiˆe´u c´ac kh´ainiˆe.mco.ba’n v`a c´ac phu.o.ng ph´ap d`ung trong l´y thuyˆe´ttˆa.pho..p m`a ng`ay naythu.`o.ng d¯u.o..c ´ap du.ng trong mo.i ng`anh to´an ho.cv`ad`ung l`am co.so.’d¯ ˆe’khai ph´av`a gia’i th´ıch c´ac kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’a to´an ho.c [nhu.´anh xa., quan hˆe., ...]; bal`a do khˆong n˘a´md¯u.o..cnh˜u.ng kh´ai niˆe.mco.ba’ncu’ad¯a.isˆo´tr`u.utu.o..ng, mˆo.t chu’d¯ ˆe`d¯ang ph´at triˆe’nma.nh m˜e v`a c´o a’nh hu.o.’ng d¯ˆe´nmo.i ng`anh to´an ho.c kh´ac, cu.thˆe’qua c´ac cˆa´utr´uc d¯a.isˆo´cu’a c´ac tˆa.pho..psˆo´quen thuˆo.c [nhu.tˆa.p c´ac sˆo´tu..nhiˆen, tˆa.p c´ac sˆo´nguyˆen, tˆa.p c´ac sˆo´h˜u.utı’,tˆa.p c´ac sˆo´thu..c v`a tˆa.p c´ac sˆo´ph´u.c].D-u.o..csu..d¯ ˆo.ng viˆen ma.nh m˜e cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p trong c´ac Khoa To´an-Co.-Tin ho.c, Cˆong nghˆe.Thˆong tin v`a Vˆa.tl´y[Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´], c´ac Khoa To´an v`a Tin ho.c [Tru.`o.ng D-a.iho.cSu.pha.m-D-a.iho.cHuˆe´]v`ad¯ ˘a.cbiˆe.t do nhu cˆa`uho.ctˆa.pcu’a c´ac sinh viˆen trong D-a.iho.cHuˆe´o.’c´ac Khoan´oi trˆen, ch´ung tˆoi ma.nh da.nviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c, trong khi trˆen thi.tru.`o.ng s´ach c´o kh´a nhiˆe`u t`ai liˆe.u liˆen quan d¯ˆe´nho.c phˆa`n n`ay [nhu.ng d¯u.o..c tr`ınhb`ay ta’nma.nv`ar`o.ira.c]. D-iˆe`u m`a ch´ung tˆoi mong muˆo´n l`a c´ac kiˆe´nth´u.ccu’aho.c phˆa`n n`ay pha’id¯u.o..cd¯u.a v`ao d¯ˆa`yd¯u’,cˆod¯o.ng, ch´ınh x´ac, cˆa.p nhˆa.t v`a b´ams´at theo yˆeu cˆa`u d¯`ao ta.o sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Vˆa.t l´y, Cˆong nghˆe.Thˆong tinv`a mˆo.tsˆo´ng`anh k˜y thuˆa.t kh´ac cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.iho.c v`a cao d¯˘a’ng. V´o.isu..nˆo’lu..chˆe´t m`ınh cu’aba’n thˆan, ch´ung tˆoi thiˆe´t ngh˜ı d¯ˆay c`on l`a t`ai liˆe.u tham kha’otˆo´t cho c´ac gi´ao viˆen gia’ng da.yho.c phˆa`n Nhˆa.pmˆonD-a.isˆo´hay Co.so.’To´an ho.cNˆo.i dung cu’a t`ai liˆe.u n`ay d¯u.o..cbˆo´tr´ı trong 6 chu.o.ng. Trong c´ac phˆa`ncu’amˆo˜i chu.o.ng c´o nhiˆe`uth´ıdu.cu.thˆe’minh hoa.cho nh˜u.ng kh´ai niˆe.mc˜ung nhu.nh˜u.ng kˆe´t qua’cu’ach´ung. Cuˆo´icu’amˆo˜ichu.o.ng l`a nh˜u.ng b`ai tˆa.pd¯u.o..ccho.nlo.ct`u.dˆe˜d¯ ˆe´n kh´o b´am theo nˆo.i dung cu’achu.o.ng d¯´o v`a liˆe`n sau d¯´o l`a c´ac l`o.i gia’icu’ach´ung. D-´o l`a c´ac chu.o.ng vˆe`Lˆogic to´an v`a tˆa.pho..p,´Anh xa., Quan hˆe.,Sˆo´tu..nhiˆen v`a sˆo´nguyˆen, Sˆo´h˜u.utı’,sˆo´thu..c v`a sˆo´ph´u.c, D-ath´u.c.Ch´ung tˆoi xin chˆan th`anh c´am o.n c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p d¯ ˜a d¯ ˆo.ng viˆen v`a g´op ´ycho cˆong viˆe.cviˆe´t gi´ao tr`ınh Co.so.’To´an ho.c n`ay v`a l`o.i c´am o.nd¯˘a.cbiˆe.t xind`anh cho Khoa To´an-Co.-Tin ho.c [Tru.`o.ng D-a.iho.c Khoa ho.c-D-a.iho.cHuˆe´]vˆe`su..gi´up d¯˜o.qu´y b´au v`a ta.o d¯ i ˆe`ukiˆe.n thuˆa.nlo..ichoviˆe.c xuˆa´tba’n gi´ao tr`ınh n`ay.Typeset by AMS-TEXT´ac gia’mong nhˆa.nd¯u.o..csu..chı’gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p v`a d¯ˆo.c gia’vˆe`nh˜u.ng thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’icu’a cuˆo´n s´ach.Cˆo´D-ˆoHuˆe´,ˆA´tDˆa.uTro.ng D-ˆong [2005]Nguyˆe˜nGiaD-i.nh2CHU.O.NG I:LˆOGIC TO´AN V`ATˆA.PHO..P1.1. LˆOGIC TO´AN.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`v`a c´ac ph´ep to´an lˆogic:1.1.1.1. Mˆe.nh d¯ˆe`: Mˆe.n h d¯ ˆe`l`a mˆo.t cˆau pha’n ´anh mˆo.td¯iˆe`ud¯´ung ho˘a.c sai, ch´u.khˆong pha’iv`u.a d¯´ung v`u.a sai.Th´ıdu.:1] Sˆo´35 chia hˆe´t cho 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.2] M˘a.t tr`o.i quay quanh tr´ai d¯ˆa´t: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.3] Tam gi´ac ABC c´o 3 g´oc vuˆong: mˆe.n h d¯ ˆe`sai.4] 2 < 5: mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung.C´ac cˆau ho’i, cˆau ca’m th´an, cˆau mˆe.nh lˆe.nh, ... v`a n´oi chung c´ac cˆau khˆongnh˘a`m pha’n ´anh t´ınh d¯´ung sai cu’a thu..ctˆe´kh´ach quan d¯ˆe`u khˆong d¯u.o..c coi l`amˆe.n h d¯ ˆe`.Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ta khˆong quan tˆam d¯ˆe´ncˆa´u tr´uc ng˜u.ph´ap c˜ung nhu.´y ngh˜ıa nˆo.i dung cu’amˆe.n h d¯ ˆe`m`a chı’quan tˆam d¯ˆe´n t´ınh d¯´ung sai cu’amˆo˜imˆe.nhd¯ ˆe`.D-ˆe’chı’c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`chu.a x´ac d¯i.nh, ta d`ung c´ac ch˜u.c´ai: p, q, r, ... v`a go.ich´ung l`a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`.Taquyu.´o.cviˆe´t p = 1 khi p l`a mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ´ung v`ap = 0 khi p l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai. C´ac gi´a tri.0 v`a 1 go.i l`a c´ac gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´acmˆe.n h d¯ ˆe`.George Boole d¯˜a nghiˆen c´u.uphu.o.ng ph´ap ta.o ra c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.ib˘a`ngc´ach tˆo’ho..pt`u.mˆo.t ho˘a.c nhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o. C´ac mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o..cgo.il`ac´ac mˆe.nh d¯ˆe`ph´u.cho..p, ch´ung d¯u.o..cta.orat`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`hiˆe.nc´ob˘a`ng c´achd`ung c´ac ph´ep to´an lˆogic.1.1.1.2. Ph´ep phu’d¯ i.nh: Phu’d¯ i.nh cu’amˆe.n h d¯ ˆe`p ,k´yhiˆe.ul`ap,d¯o.c l`a “khˆongp”, l`a mˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a d¯´ung khi p sai.Ph´ep phu’d¯ i.nh trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`ph`uho..pv´o.i ph´ep phu’d¯ i.nh trong ngˆonng˜u.thˆong thu.`o.ng, ngh˜ıa l`a ph`u ho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’at`u.“khˆong” [“khˆong pha’i”].Th´ıdu.:1]p: “9 l`a mˆo.tsˆo´le’”[D-],p: “9 khˆong l`a mˆo.tsˆo´le’” [S].2] p: “v´o.imo.isˆo´thu..c x, y, [x + y]2< 0” [S], p: “tˆo`nta.isˆo´thu..cx, y, [x + y]2≥ 0” [D-].1.1.1.3. Ph´ep hˆo.i: Hˆo.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.ul`ap ∧ q,d¯o.cl`a“p v`a q”,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi ca’p lˆa˜n q c`ung d¯´ung v`a sai trong c´ac tru.`o.ng ho..p c`onla.i.Ph´ep hˆo.i ph`u ho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’a liˆen t`u.“v`a” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng.Th´ıdu.:1]p: “2 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´”[D-]v`aq: “2 l`a sˆo´ch˜an” [D-]th`ıp ∧ q: “2 l`asˆo´nguyˆen tˆo´v`a l`a ch˘a˜n” [D-].32] Mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.n 3 v`a l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” [S] l`a hˆo.icu’a hai mˆe.nh d¯ˆe`“Sˆo´π l´o.nho.n 3” [D-] v`a “Sˆo´π l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” [S].1.1.1.4. Ph´ep tuyˆe’n: Tuyˆe’ncu’ahaimˆe.nh d¯ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p ∨ q,d¯o.cl`a“pho˘a.c q”, l`a mˆo.tmˆe.nh d¯ˆe`sai khi ca’p lˆa˜n q d¯ ˆe`u sai v`a d¯´ung trong mo.i tru.`o.ngho..p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theo ngh˜ıakhˆong loa.itr`u., c´o ngh˜ıa l`a mˆe.n h d¯ ˆe`“p ho˘a.c q”d¯´ung khi v`a chı’khi ´ıt nhˆa´tmˆo.ttrong hai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q d¯ ´ung.Th´ıdu.:1]p: “3 nho’ho.n5”[D-]v`aq: “3 b˘a`ng 5” [S] th`ı p ∨ q: “3 nho’ho.nho˘a.cb˘a`ng 5” [D-].2] p: “Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh” [S] v`a q: “6 l´o.nho.n 8” [S] th`ı p ∨ q:“Paris l`a thu’d¯ ˆo n u.´o.c Anh ho˘a.c6l´o.nho.n 8” [S].1.1.1.5. Ph´ep tuyˆe’n loa.i: Tuyˆe’n loa.icu’a hai mˆe.n h d¯ ˆe`p, q,k´yhiˆe.u p⊕ q,d¯o.cl`a “p ho˘a.c q [nhu.ng khˆong ca’hai]”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi chı’c´o mˆo.t tronghai mˆe.n h d¯ ˆe`p v`a q l`a d¯´ung v`a sai trong mo.i tru.`o.ng ho..p c`on la.i.Ph´ep tuyˆe’n loa.i´u.ng v´o.i liˆen t`u.“ho˘a.c” trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng theongh˜ıa loa.itr`u..Th´ıdu.: p:“√2 l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’” [S] v`a q:“√2l`amˆo.tsˆo´vˆo tı’”[D-]th`ı p ⊕ q:“√2l`amˆo.tsˆo´h˜u.utı’ho˘a.c l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’”[D-].1.1.1.6. Ph´ep k´eo theo: Mˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo p ⇒ q,d¯o.cl`a“p k´eo theo q”hay”nˆe´u p th`ı q”, l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`sai khi p d¯ ´ung v`a q sai v`a d¯´ung trong c´ac tru.`o.ngho..p c`on la.i.Trong ph´ep k´eo theo n´oi trˆen, p d¯ u.o..cgo.i l`a gia’thiˆe´t, c`on q d¯ u.o..cgo.il`akˆe´tluˆa.n.V`ı ph´ep k´eo theo xuˆa´thiˆe.no.’nhiˆe`uno.i trong c´ac suy luˆa.n to´an ho.c, nˆen c´onhiˆe`u thuˆa.tng˜u.d¯ u.o..cd`ung d¯ˆe’diˆe˜nd¯a.tmˆe.n h d¯ ˆe`p ⇒ q.Du.´o.i d¯ˆay l`a mˆo.tsˆo´th´ıdu.thu.`o.ng g˘a.p nhˆa´t.–“Nˆe´u p th`ı q”,–“p k´eo theo q”,–“T`u.p suy ra q”,–“p l`a d¯iˆe`ukiˆe.nd¯u’d¯ ˆe’c´o q”,–“q l`a d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n d¯ ˆe’c´o p”.Th´ıdu.:1]“Nˆe´u hˆom nay tr`o.in˘a´ng, ch´ung tˆoi s˜e d¯i ra b˜ai biˆe’n” l`a mˆo.tmˆe.nhd¯ ˆe`k´eo theo v`a d¯u.o..c xem l`a d¯´ung tr`u.phi hˆom nay tr`o.i thu..csu..n˘a´ng, nhu.ngch´ung tˆoi khˆong d¯i ra b˜ai biˆe’n.2] “Nˆe´u hˆom nay l`a th´u.hai th`ı 3 + 5 = 7” l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo v`a l`ad¯ ´ung v´o.imo.i ng`ay tr`u.th´u.hai.Trong suy luˆa.n to´an ho.c, ch´ung ta x´et c´ac ph´ep k´eo theo thuˆo.c loa.itˆo’ngqu´at ho.n trong ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Kh´ai niˆe.m to´an ho.cvˆe`ph´ep k´eo theod¯ ˆo.clˆa.pv´o.imˆo´i quan hˆe.nhˆan - qua’gi˜u.a gia’thiˆe´tv`akˆe´t luˆa.n.4Khˆong may, cˆa´utr´uc nˆe´u - th`ı d¯u.o..c d`ung trong nhiˆe`u ngˆon ng˜u.lˆa.ptr`ınhla.i kh´ac v´o.icˆa´u tr´uc d¯u.o..c d`ung trong lˆogic to´an. D-asˆo´c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınhch´u.anh˜u.ng cˆau lˆe.nh nhu.nˆe´u p th`ı S [if p then S], trong d¯´o p l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`c`on S l`a mˆo.t d¯oa.nchu.o.ng tr`ınh [gˆo`mmˆo.t ho˘a.c nhiˆe`ulˆe.nh cˆa`n pha’i thu..chiˆe.n].Khi thu..chiˆe.nmˆo.t chu.o.ng tr`ınh g˘a.pnh˜u.ng cˆa´utr´uc nhu.vˆa.y, S s ˜e d¯ u.o..c thu..chiˆe.nnˆe´u p l`a d¯´ung, trong khi d¯´o S s˜e khˆong d¯u.o..c thu..chiˆe.nnˆe´u p l`a sai.1.1.1.7. Ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng: Mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”, k´y hiˆe.ul`ap ⇔ q,l`a mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`d¯ ´ung khi p v`a q c´o c`ung gi´a tri.chˆan l´y v`a sai trong c´ac tru.`o.ngho..p c`on la.i.D-i.nh ngh˜ıa cu’a ph´ep tu.o.ng d¯u.o.ng ph`uho..pv´o.i ´y ngh˜ıa cu’acu.mt`u.“khiv`a chı’khi” hay “nˆe´u v`a chı’nˆe´u” cu’a ngˆon ng˜u.thˆong thu.`o.ng. Trong to´an ho.c,mˆe.n h d¯ ˆe`“p tu.o.ng d¯u.o.ng q”c´othˆe’diˆe˜nd¯a.tdu.´o.ida.ng: “d¯iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’c´o p l`a c´o q”.Th´ıdu.:1]D-iˆe`ukiˆe.ncˆa`n v`a d¯u’d¯ ˆe’ABC cˆan l`a hai g´oc o.’d¯´ay cu’a n´o b˘a`ngnhau.2] Dˆa´ub˘a`ng xa’y ra trong bˆa´td¯˘a’ng th´u.c Cauchyn√a1a2...an≤a1+ a2+ ···+ annkhi v`a chı’khi a1= a2= ···= an.Sau d¯ˆay l`a ba’ng chˆan tri.cu’a c´ac ph´ep to´an lˆogic n´oi trˆen.p q p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p ⇒ q p ⇔ q0 0 1 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 1 01 0 0 0 1 1 0 01 1 0 1 1 0 1 11.1.1.8. C´ac ph´ep to´an lˆogic v`a c´ac ph´ep to´an bit: C´ac m´ay t´ınh d`ungc´ac bit d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n thˆong tin. Mˆo.t bit c´o hai gi´a tri.l`a 0 v`a 1.´Y ngh˜ıa cu’at`u.n`ay b˘a´t nguˆo`nt`u.binary digit [sˆo´nhi.phˆan]. Thuˆa.tng˜u.n`ay do nh`a Thˆo´ng kˆeho.cnˆo’itiˆe´ng John Turkey d¯u.a ra v`ao n˘am 1946. Bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o..cd`ung d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.chˆan l´y. Ta s˜e d`ung bit 1 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.d¯ ´ung v`a bit 0 d¯ˆe’biˆe’udiˆe˜n gi´a tri.sai.Tas˜ed`ung c´ac k´yhiˆe.u NOT, AND, OR, XOR thay cho c´ac ph´ep to´an−,∧,∨,⊕ nhu.thu.`o.ng d¯u.o..c l`am trong c´ac ngˆon ng˜u.lˆa.p tr`ınh kh´ac nhau.Thˆong tin thu.`o.ng d¯u.o..cbiˆe’udiˆe˜nb˘a`ng c´ach d`ung c´ac xˆau bit, d¯´o l`a d˜ayc´ac sˆo´0 v`a 1. Khi d¯˜a l`am nhu.thˆe´, c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac xˆau bit c˜ung c´o thˆe’d¯ u.o..c d`ung d¯ˆe’thao t´ac c´ac thˆong tin d¯´o. Ta c´o thˆe’mo.’rˆo.ng c´ac ph´ep to´an bitt´o.i c´ac xˆau bit. Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac OR bit, AND bit v`a XOR bit d¯ˆo´iv´o.i hai xˆau5bit c´o c`ung chiˆe`u d`ai l`a c´ac xˆau c´o c´ac bit cu’ach´ung l`a c´ac OR, AND v`a XORcu’a c´ac bit tu.o.ng ´u.ng trong hai xˆau tu.o.ng ´u.ng.Th´ıdu.:xˆau 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0xˆau 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 11.1.2. Su..tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic cu’a c´ac cˆong th´u.c:Trong lˆogic mˆe.n h d¯ ˆe`, ngu.`o.i ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m cˆong th´u.c, tu.o.ng tu..nhu.kh´ai niˆe.mbiˆe’uth´u.c trong to´an ho.c.1.1.2.1. D-i.nh ngh˜ıa:1] C´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`p, q, r, ... l`a c´ac cˆong th´u.c,2] Nˆe´u P, Q l`a c´ac cˆong th´u.cth`ıP,P∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l`ac´ac cˆong th´u.c,3] Chı’chˆa´p nhˆa.n c´ac cˆong th´u.cd¯u.o..c th`anh lˆa.pb˘a`ng viˆe.c ´ap du.ng mˆo.tsˆo´h˜u.uha.n c´ac quy t˘a´c 1]-2].1.1.2.2. D-i.nh ngh˜ıa: Cˆong th´u.c A go.il`ah˘a`ng d¯´ung nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.1v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´y c´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.n h d¯ ˆe`c´o m˘a.t trong A.Cˆong th´u.c A go.i l`a h˘a`ng sai nˆe´u A nhˆa.n gi´a tri.0v´o.imo.ihˆe.gi´a tri.chˆan l´yc´o thˆe’c´o cu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong A. Khi d¯´o ta go.i A l`a mˆo.t mˆauthuˆa’n.Mˆo.t cˆong th´u.c khˆong pha’i l`a h˘a`ng d¯´ung, c˜ung khˆong pha’i l`a mˆau thuˆa’nd¯ u.o..cgo.il`atiˆe´p liˆen.1.1.2.3. D-i.nh ngh˜ıa: Hai cˆong th´u.c A v`a B d¯ u.o..cgo.i l`a tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic,k´yhiˆe.u A ≡ B,nˆe´u A ⇔ B l`a mˆo.th˘a`ng d¯´ung. Hˆe.th´u.c A ≡ B c`on d¯u.o..cgo.il`amˆo.td¯˘a’ng th´u.c.1.1.2.4. C´ac tu.o.ng d¯u.o.ng lˆogic co.ba’n:1] Luˆa.td¯ˆo`ng nhˆa´t:p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p.2] Luˆa.tnuˆo´t:p ∧ 0 ≡ 0,p∨ 1 ≡ 1.3] Luˆa.tl˜uy d¯˘a’ng:p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p.64] Luˆa.tphu’d¯ i.nh k´ep:p ≡ p.5] Luˆa.t giao ho´an:p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p.6] Luˆa.tkˆe´tho..p:[p ∧ q] ∧ r ≡ p ∧ [q ∧ r], [p ∨ q] ∨ r ≡ p ∨ [q ∨ r].7] Luˆa.t phˆan phˆo´i:p ∧ [q ∨ r] ≡ [p∧ q] ∨ [p ∧ r],p∨ [q ∧ r] ≡ [p ∨ q] ∧ [p ∨ r].8] Luˆa.t De Morgan:p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q.9] Mˆo.tsˆo´tu.o.ng d¯u.o.ng tiˆe.n ´ıch:p ∧p ≡ 0,p∨ p ≡ 1,p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ [p ⇒ q]∧ [q ⇒ p],p⇔ q ≡p ⇔ q,[p ⇒ q] ≡ [p ∨ q],[p ⇒ q] ≡ [q ⇒ p].1.1.3. Suy luˆa.n to´an ho.c:1.1.3.1. Suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch: Suy luˆa.nl`ar´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.it`u.mˆo.thaynhiˆe`umˆe.n h d¯ ˆe`d¯˜a c´o.Phˆan t´ıch c´ac suy luˆa.n trong ch´u.ng minh to´an ho.c, ngu.`o.i ta thˆa´ymˆo˜ich´u.ngminh bao gˆo`mmˆo.tsˆo´h˜u.uha.nbu.´o.c suy luˆa.nd¯o.n gia’n. Trong mˆo˜ibu.´o.c suyluˆa.nd¯o.n gia’n d¯´o, ta d¯˜a “ngˆa`m” vˆa.ndu.ng mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at d¯ˆe’t`u.c´ac mˆe.nh d¯ˆe`d¯ ˜a d¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung [tiˆen d¯ˆe`,d¯i.nh l´y, d¯i.nh ngh˜ıa, gia’thiˆe´t] c´o thˆe’r´ut ra mˆo.tmˆe.n h d¯ ˆe`m´o.i. Ngu.`o.i ta go.i c´ac mˆe.n h d¯ ˆe`xuˆa´t ph´at d¯˜ad¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n l`a d¯´ung l`a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`, c`on mˆe.n h d¯ ˆe`m´o.id¯u.o..c r´ut ra [nh`o.vˆa.ndu.ng c´ac quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at] go.il`ahˆe.qua’lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`. Ph´epsuy luˆa.nnhu.thˆe´go.i l`a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch hay go.it˘a´t l`a suy diˆe˜n.1.1.3.2. D-i.nh ngh˜ıa: Gia’su.’A1,A2,... ,An,B l`a nh˜u.ng cˆong th´u.c. Nˆe´utˆa´tca’c´ac hˆe.gi´a tri.chˆan l´ycu’a c´ac biˆe´nmˆe.nh d¯ˆe`c´o m˘a.t trong c´ac cˆong th´u.cd¯´ol`am cho A1,A2,... ,Annhˆa.n gi´a tri.1c˜ung d¯ˆo`ng th`o.i l`am cho B nhˆa.n gi´a tri.1,t´u.cl`aA1∧ A2∧ ...∧ An⇒ B l`a mˆo.t cˆong th´u.ch˘a`ng d¯´ung, th`ı ta go.i B l`a hˆe.qua’lˆogic cu’a A1,A2,... ,An. Khi d¯´o ta c˜ung n´oi r˘a`ng c´o mˆo.t quy t˘a´c suy luˆa.nt`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,Ant´o.ihˆe.qua’lˆogic B cu’ach´ung.7Quy t˘a´c suy luˆa.n d¯ ´o d¯ u.o..ck´yhiˆe.u l`a:A1,A1,... ,AnB.1.1.3.3. Mˆo.tsˆo´quy t˘a´c suy luˆa.nthu.`o.ng d`ung:1]pp ∨ q[Quy t˘a´ccˆo.ng].2]p ∧ qp[Quy t˘a´cr´ut go.n].3]p, p ⇒ qq[Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n - Modus ponens].4]p ⇒ q,qp[Quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n ngu.o..c - Modus tollens].5]p ⇒ q, q ⇒ rp ⇒ r[Quy t˘a´c tam d¯oa.n luˆa.n].6]p ⇒ q, q ⇒ pp ⇔ q[Quy t˘a´cd¯u.atu.o.ng d¯u.o.ng v`ao].7]p ∨ q,pq[Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n].8]p ⇒ r, q ⇒ rp ∨ q ⇒ r[Quy t˘a´c t´ach tuyˆe’n gia’thiˆe´t].9]p ⇒ q, p ⇒ rp ⇒ q ∧ r[Quy t˘a´chˆo.ikˆe´t luˆa.n].10]q ⇒ pp ⇒ q[Quy t˘a´c pha’nd¯a’o].11]p ⇒ q, p ⇒ qp[Quy t˘a´c pha’nch´u.ng].Th´ıdu.:1] Cho: Nˆe´u tr`o.imu.a[p] th`ı sˆan u.´o.t[q] [d¯´ung]Tr`o.i d¯ang mu.a [d¯´ung]Kˆe´t luˆa.n: Sˆan u.´o.t [d¯´ung].2] Cho: Nˆe´u hai g´oc d¯ˆo´id¯ı’nh [p]th`ıb˘a`ng nhau [q] [d¯´ung]A v`aB khˆong b˘a`ng nhau [d¯´ung]Kˆe´t luˆa.n:A v`aB khˆong d¯ˆo´id¯ı’nh [d¯´ung].3] Cho: Mo.ih`ınh vuˆong d¯ˆe`ul`ah`ınh thoi [p ⇒ q] [d¯´ung]Mo.ih`ınh thoi c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc [q ⇒ r] [d¯´ung]Kˆe´t luˆa.n: Mo.i h`ınh vuˆong d¯ˆe`u c´o c´ac d¯u.`o.ng ch´eo vuˆong g´oc [p ⇒ r] [d¯´ung].81.1.3.4. Suy luˆa.n nghe c´o l´y: Suy luˆa.n nghe c´o l´y l`a suy luˆa.n khˆong theo mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at n`ao d¯ˆe’t`u.nh˜u.ng tiˆe`n d¯ ˆe`d¯˜a c´o, r´ut ra d¯u.o..cmˆo.tkˆe´tluˆa.n x´ac d¯i.nh. Nˆe´u c´ac tiˆe`nd¯ˆe`d¯ ˆe`u d¯´ung th`ıkˆe´t luˆa.nr´ut ra khˆong ch˘a´cch˘a´nd¯ ´ung, m`a chı’c´o t´ınh chˆa´tdu..d¯o´an, gia’thuyˆe´t.Trong to´an ho.c c´o hai kiˆe’u suy luˆa.n nghe c´o l´ythu.`o.ng d`ung, d¯´o l`a– Ph´ep quy na.p khˆong ho`an to`an,– Ph´ep tu.o.ng tu...Th´ıdu.:1]T`u.d¯ i.nh l´y trong h`ınh ho.c ph˘a’ng: “Hai d¯u.`o.ng th˘a’ng c`ung vuˆongg´oc v´o.imˆo.td¯u.`o.ng th˘a’ng th´u.ba th`ı song song v´o.i nhau”, ch´ung ta nˆeu ra mˆo.t“du..d¯o´an”: “Hai m˘a.t ph˘a’ng c`ung vuˆong g´oc v´o.imˆo.tm˘a.t ph˘a’ng th´u.ba th`ı songsong v´o.i nhau”.D-ˆay l`a mˆo.tth´ıdu.vˆe`ph´ep suy luˆa.nb˘a`ng tu.o.ng tu...2] C´ac sˆo´220+1, 221+1, 222+1, 223+1, 224+ 1 l`a nh˜u.ng sˆo´nguyˆen tˆo´.Kˆe´t luˆa.n: v´o.imo.isˆo´tu..nhiˆen n,sˆo´22n+ 1 l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.D-ˆay l`a lˆo´i suy luˆa.n quy na.p khˆong ho`an to`an d¯˜a nˆeu lˆen bo.’i Fermat [1601-1665] sau khi d¯˜a kiˆe’m nghiˆe.mv´o.i c´ac sˆo´n =0, 1, 2, 3, 4. Nhu.ng sau d¯´o Euler d¯˜achı’ra r˘a`ng v´o.i n = 5, kh˘a’ng d¯i.nh n`ay khˆong d¯´ung, ngh˜ıa l`a 225+ 1 khˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´.3] 6=3+3, 8=3+5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,....Kˆe´t luˆa.n: mo.isˆo´nguyˆen du.o.ng ch˘a˜nl´o.nho.n4l`atˆo’ng cu’a hai sˆo´nguyˆen tˆo´.Mˆe.nh d¯ˆe`n`ay mang tˆen l`a b`ai to´an Goldbach. D-ˆay l`a mˆo.t trong nhiˆe`u kh˘a’ngd¯ i.nh trong to´an ho.cchu.ad¯u.o..cch´u.ng minh.4] Phu.o.ng tr`ınh x3+ y3= z3khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen, phu.o.ng tr`ınhx4+ y4= z4khˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen. Kˆe´t luˆa.n: phu.o.ng tr`ınh xn+ yn= znkhˆong c´o nghiˆe.m nguyˆen v´o.imo.isˆo´nguyˆen n>2.Mˆe.n h d¯ ˆe`n`ay d¯u.o..c nˆeu ra bo.’i Fermat n˘am 1637, go.i l`a “d¯i.nh l´y cuˆo´ic`ungcu’a Fermat”. M˜ai d¯ˆe´n th´ang 5 n˘am 1995, mˆe.nh d¯ˆe`n`ay m´o.id¯u.o..c ho`an to`anch´u.ng minh xong bo.’i nh`a to´an ho.c ngu.`o.i Anh tˆen l`a Wiles.To´an ho.c l`a khoa ho.ccu’a suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tˆa´tca’c´ac vˆa´n d¯ ˆe`trong to´anho.cchı’d¯ u.o..c tr`ınh b`ay b˘a`ng c´ac suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch. Tuy nhiˆen, trong qu´a tr`ınhph´at minh, s´ang ta.o to´an ho.c, l´y luˆa.ndiˆe˜ndi.ch g˘a´nch˘a.tv´o.i c´ac suy luˆa.n nghec´o l´y. Ta d`ung quy na.p khˆong ho`an to`an hay tu.o.ng tu..d¯ ˆe’nˆeu ra c´ac gia’thuyˆe´t.Sau d¯´o m´o.ich´u.ng minh c´ac gia’thuyˆe´t n`ay b˘a`ng diˆe˜ndi.ch.1.1.4. C´ac phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh:1.1.4.1. Ch´u.ng minh l`a g`ı? Trong suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch, nˆe´ut`u.c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,An, ta r´ut ra kˆe´t luˆa.n B b˘a`ng c´ach vˆa.ndu.ng nh˜u.ng quy t˘a´c suyluˆa.ntˆo’ng qu´at th`ı ta n´oi B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’a c´ac tiˆe`n d¯ ˆe`A1,A2,... ,Anv`asuy luˆa.n d¯´o l`a ho..p lˆogic. Nˆe´utˆa´tca’c´ac tiˆe`nd¯ˆe`A1,A2,... ,And¯ ˆe`u d¯´ung th`ıta go.ikˆe´t luˆa.n lˆogic B l`a mˆo.tkˆe´t luˆa.nch´u.ng minh v`a go.i suy luˆa.n d¯´o l`a mˆo.tch´u.ng minh.9Phˆan t´ıch c´ac ch´u.ng minh to´an ho.c ta thˆa´ymˆo˜ich´u.ng minh gˆo`mmˆo.tsˆo´h˜u.uha.nbu.´o.c, mˆo˜ibu.´o.cl`amˆo.t suy luˆa.ndiˆe˜ndi.ch trong d¯´o ta vˆa.ndu.ng mˆo.tquy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at. Nhu.vˆa.y, mˆo.tch´u.ng minh to´an ho.cgˆo`m ba bˆo.phˆa.ncˆa´u th`anh:1] Luˆa.nd¯ˆe`, t´u.cl`amˆe.n h d¯ ˆe`cˆa`nch´u.ng minh.2] Luˆa.nc´u., t´u.cl`anh˜u.ng mˆe.n h d¯ ˆe`d¯ u.o..cth`u.a nhˆa.n [d¯i.nh ngh˜ıa, tiˆe`n d¯ ˆe`,d¯ i.nh l´y, gia’thiˆe´t] d¯u.o..clˆa´y l`am tiˆe`n d¯ ˆe`trong mˆo˜i suy luˆa.n.3] Luˆa.nch´u.ng, t´u.c l`a nh˜u.ng quy t˘a´c suy luˆa.ntˆo’ng qu´at d¯u.o..cvˆa.ndu.ngtrong mˆo˜ibu.´o.c suy luˆa.ncu’ach´u.ng minh.1.1.4.2. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh tru..ctiˆe´p: Khi ta ch´u.ng minh mˆe.n h d¯ ˆe`B b˘a`ng c´ach va.ch r˜o B l`a kˆe´t luˆa.n lˆogic cu’anh˜u.ng tiˆe`n d¯ ˆe`d¯ ´ung A1,A2,... ,An,ngh˜ıa l`a B l`a mˆo.tkˆe´t luˆa.nch´u.ng minh th`ı ta n´oi l`a d¯˜a ch´u.ng minh tru..ctiˆe´pmˆe.n h d¯ ˆe`B.Th´ıdu.: H˜ay ch´u.ng minh tru..ctiˆe´pmˆe.n h d¯ ˆe`:“Nˆe´u n l`a mˆo.tsˆo´le’th`ı n2c˜ungl`a mˆo.tsˆo´le’”.Gia’su.’r˘a`ng gia’thiˆe´tcu’amˆe.n h d¯ ˆe`k´eo theo n`ay l`a d¯´ung, t´u.cl`an l`a mˆo.tsˆo´le’. Khi d¯´o n =2k + 1, v´o.i k l`a mˆo.tsˆo´nguyˆen. T`u.d¯´o suy ra n2=4k2+4k +1 =2[2k2+2k] + 1. Do d¯´o n2l`a mˆo.tsˆo´le’.1.1.4.3. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh t`ım pha’nth´ıdu.: Gia’su.’ta cˆa`nch´u.ngminh mˆe.n h d¯ ˆe`p sai. Nˆe´u ta t`ım d¯u.o..cmˆe.n h d¯ ˆe`q, tru.`o.ng ho..pd¯˘a.cbiˆe.tcu’a p l`asai. Khi d¯´oq d¯ ´ung v`a p ⇒ q l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a´ckˆe´t luˆa.n ngu.o..cth`ıpl`a d¯´ung. T`u.d¯ ´o p l`a sai.Th´ıdu.: Cho m v`a n l`a nh˜u.ng sˆo´kh´ac khˆong bˆa´tk`y. Ch´u.ng minh r˘a`ng n + m 1.1.1.1.4.4. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’nd¯a’o: Gia’su.’ta cˆa`nch´u.ng minhp ⇒ q.Nˆe´utach´u.ng minh d¯u.o..cq ⇒ p th`ı theo quy t˘a´c pha’nd¯a’o, ta c´o p ⇒ qd¯ ´ung. Nhu.vˆa.y , d¯ ˆe’ch´u.ng minh p ⇒ q, ta c´o thˆe’chuyˆe’n sang ch´u.ng minhq ⇒ pl`a d¯u’.Th´ıdu.: Cho a l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’kh´ac 0. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u b l`a mˆo.tsˆo´vˆotı’th`ı ab c˜ung l`a mˆo.tsˆo´vˆo tı’.Ta viˆe´t a =mn,v´o.i m, n l`a hai sˆo´nguyˆen kh´ac 0. Nˆe´u ab l`a sˆo´h˜u.utı’th`ı tac´o thˆe’viˆe´t ab =klv´o.i k, l l`a hai sˆo´nguyˆen v`a l = 0. Khi d¯´o b =aba=k/lm/n=knlmv`a suy ra b l`a mˆo.tsˆo´h˜u.utı’.1.1.4.5. Phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh pha’nch´u.ng: Co.so.’lˆogic cu’aphu.o.ngph´ap ch´u.ng minh pha’nch´u.ng l`a nhu.sau: muˆo´nch´u.ng minh mˆe.n h d¯ ˆe`p l`a d¯´ung,ta gia’thiˆe´t p l`a sai, t´u.cl`ap l`a d¯´ung. Sau d¯´o ta ch´u.ng minh r˘a`ngp ⇒ q l`a d¯´ungv`aq l`a d¯´ung. Do d¯´o theo quy t˘a´c pha’nch´u.ng th`ı p l`a d¯´ung. D-iˆe`u n`ay dˆa˜n d¯ ˆe´nmˆau thuˆa’n [luˆa.t b`ai trung].10Th´ıdu.: Ch´u.ng minh r˘a`ng u.´o.csˆo´tu..nhiˆen nho’nhˆa´t kh´ac 1 cu’amˆo.tsˆo´tu..nhiˆenl´o.nho.n1l`amˆo.tsˆo´nguyˆen tˆo´.Gia’su.’k l`a u.´o.ctu..nhiˆen nho’nhˆa´t kh´ac 1 cu’asˆo´tu..nhiˆen n [n>1] v`a kkhˆong l`a sˆo´nguyˆen tˆo´. Do d¯´o tˆo`nta.iu.´o.csˆo´m cu’a k sao cho 1