Lời Giải Chỉ Dẫn Đáp Số Bài 1 : Đa giác . Đa giác đều
1.* Các hình c, e, g là đa giác lồi vì các cạnh của đa giácluôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳngchứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
* Các hình a, b, d không phải là đa giác lồi vì các cạnh của đa giác nằm về hai phía của đường thẳng chứa một cạnh. Chẳng hạn đường thẳng BC hoặc CD trên hình 193.
2. Chẳng hạn A1A2A6A9A7A3 [h.194] là một đa giác lồi. Còn vẽ được nhiều đa giác lồi khác.
3. Tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều, hìnhcạnh đều, hình 10 cạnh đều, hình 12 cạnh đều,
4. Vẽ một n-giác lồi rồi vẽ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi đó, ta được [n 2] tam giác.
Tổng các góc của hình n-giác lồi bằng tổng các góc của [n 2] tam giác, tức là có số đo bằng [n 2]. 180°.
Hình n-giác đêu có n góc băng nhau nên môi góc có số đo là :
5. Áp dụng công thức tính số đo góc của hình n-giác đểu là ,
Số đo góc của hình 8 cạnh đều là :
Số đo góc của hình 10 cạnh đều là :
Số đo góc của hình 12 cạnh đều là :
6. a] [h.195]
* Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được hai đường chéo. Có năm đỉnh nên vẽ được 2 . 5 = 10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.
* Tương tự, lục giác có sáu đỉnh nên vẽ được 6 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo.
b] Từ mỗi đỉnh của hình n-giác [lồi] vẽ được [n 1] đoạn thẳng nối đỉnh đó với [n 1] đỉnh còn lại của đa giác, trong đó có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác. Vậy, qua mỗi đỉnh của hình n-giác [lồi] vẽ được [n 3] đường chéo. Hình n-giác có n đỉnh nên vẽ được n[n 3] đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy, hình n-giác có tất cả n[n 3] : 2đường chéo.
7. Áp dụng công thức tính số đường chéo của hình n-giác là n[n 3] : 2, ta có :
Số đường chéo của hình 8 cạnh là : 8[8 3] : 2 = 20 [đường chéo].
Số đường chéo của hình 10 canh là : 10[10 3] : 2 = 35 [đường chéo].
Số đường chéo của hình 12 cạnh là : 12[12 3] : 2 = 54 [đường chéo].
8. Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n-giác [lồi] là 180°.
Hình n-giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và các góc ngoài của đa giác là [n 2].180°. Mặt khác tổng số đo các góc trong là
[n 2]. 180°. Vậy tổng số đo các góc ngoài là
n . 180° [n 2]. 180° = 360°.
9. Hình n-giác [lồi] có tổng số đo các góc trong bằng [n 2]. 180° và tổng sốđo các góc ngoài bằng 360°. Do đó, hình n-giác có tổng số đo các góc trongbằng tổng số đo các góc ngoài nếu [n 2]. 180° = 360°, suy ra n = 4. Vậy đa giác cần tìm là tứ giác [lồi].
10. Nếu một góc của đa giác [lồi] là nhọn thì góc ngoài tương ứng là tù. Nếu đa giác có quá ba góc ngoài tù thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360°, mâu thuẫn với định lí đã chứng minh [tổng số đo các góc ngoài của một đa giác [lồi] là 360°].
Vậy đa giác có nhiều nhất là ba góc nhọn.
11. Gọi n là số cạnh của đa giác đều cần tìm. Mỗi góc của đa giác đều có số đo [n 2].180º = n .Tổng số đo của tất cả các góc ngoài của đa giác là 360°. Do nđó, theo đề bài ta có phương trình :
Suy ra n = 5. Vậy đa giác đều phải tìm có năm cạnh.
Bài tập bổ sung
12. HD : Trong bài chỉ có câu c] là đúng, các câu còn lại là sai.
13. HD :a], b] Dễ dàng chứng minh nhờ tính chất đường trung bình của tam giác.
c] Để chứng minh MNPQR là ngũ giác đều ta cần chứng minh hai điều : hình đó có tất cả các cạnh bằng nhau và có tất cả các góc bằng nhau.
Để có được điều đó ta chứng minh mỗi cạnh của ngũ giác MNPQR bằng nhau và bằng nửa độ dài đường chéo của ngũ giác ABCDE, đồng thời tất ca các góc của ngũ giác MNPQR bằng nhau và cùng bằng 108° [h.bs.33].
Trước hết, bằng cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, suy ra được các đường chéo của ngũ giác ABCDE bằng nhau. Chẳng hạn, ΔDAE = ΔDBC[c.g.c], suy ra DA = DB.
Có thể chứng minh được ΔDPN = ΔCNM [c.g.c], suy ra góc DNP bằng góc CNM. Từ đó suy raKhi đó dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác suy ra được các cạnh của ngũ giác MNPQR bằng nhau [cùng bằng nửa độ dài đường chéo của ngũ giác ABCDE].được =108°.
Tương tự, chứng minh được các góc của ngũ giác MNPQR bằng nhau và cùng bằng 108°.
14.Dễ chứng minh được bốn tam giác vuông MCL, LBK, KAN, NDM bằng nhau [c.c].HD : Xem hình34.
Khi đó suy ra : ML = LK = KN = NM và ML vuông góc với LK, LK vuông góc với KN, KN vuông góc vớiNM.
Từ đó ta có KLMN là hình vuông