- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh:
LG a
Điểm có tọa độ\[\left[ {k\pi ;0} \right]\][k là một số nguyên] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số\[y = \sin x\]
Lời giải chi tiết:
Điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] là điểm đối xứng của điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] qua điểm \[\left[ {k\pi ;0} \right]\] khi và chỉ khi:
\[{{x + x'} \over 2} = k\pi ,{{y + y'} \over 2} = 0\]
tức là
\[\left\{ \matrix{
x' = - x + k2\pi \hfill \cr
y' = y \hfill \cr} \right.\]
Gọi [C] là đồ thị hàm số \[y = \sin x\].
[C] nhận \[\left[ {k\pi ;0} \right]\] làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thuộc [C] [tức là với mọi \[x,y = \sin x\]] điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] nói trên [tức là \[x' = - x + k2\pi ,y' = - y]\] cũng thuộc [C]; điều này có nghĩa là \[ - \sin x = \sin \left[ {x + k2\pi } \right],\] với mọi \[x \in Z\] là một tâm đối xứng của đồ thị [C] của hàm số \[y = \sin x\]
Cách chứng minh khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với \[I\left[ {k\pi ;0} \right];x = X + k\pi ;y = Y\] [phép biến đổi gốc tọa độ], [h.vẽ] thì đồ thị của hàm số \[y = \sin x\] trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số
\[Y = \sin \left[ {X + k\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^k}\sin X\]
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \[Y = {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \] cũng như hàm số \[Y = - {\mathop{\rm sinX}\nolimits} \] là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.
LG b
Điểm có tọa độ\[\left[ {{{k\pi } \over 2};0} \right]\][k là một số nguyên] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số\[y = \tan x\]
Lời giải chi tiết:
Điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] là điểm đối xứng của \[M\left[ {x;y} \right]\] qua điểm \[\left[ {{{k\pi } \over 2};0} \right]\] khi và chỉ khi
\[{{x + x'} \over 2} = {{k\pi } \over 2},{{y + y'} \over 2} = 0,\]
tức là
\[\left\{ \matrix{
x' = - x + k\pi \hfill \cr
y' = - y \hfill \cr} \right.\]
Gọi[C] là đồ thị của hàm số \[y = \tan x\];
[C] nhận \[\left[ {{{k\pi } \over 2};0} \right]\] làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thuộc[C] [tức là \[x \in {D_1},y = \tan x\]] điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] nói trên [tức là \[x' = - x + k\pi ,y' = - y\]] cũng thuộc [C]; điều này có nghĩa là \[ - \tan x = \tan \left[ { - x + k\pi } \right],\] với mọi \[X \in {D_1}.\]
Điều đó đúng do \[\pi \] là chu kì của hàm số \[y = \tan x\].
Vậy điểm \[\left[ {{{k\pi } \over 2};0} \right],k \in Z\] là một tâm đối xứng của đồ thị[C] của hàm số \[y = \tan x\]
Chứng minh cách khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với \[I\left[ {{{k\pi } \over 2};0} \right];x = X + {{k\pi } \over 2};y = Y.\]
Đồ thị của hàm số \[y = \tan x\] trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số
\[Y = \tan \left[ {X + k{\pi \over 2}} \right] = \left\{ \matrix{
\tan X\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ chẵn } \hfill \cr
- {1 \over {\tan X}}\,\,\,\,\,neu\,\,K\text{ lẻ } \hfill \cr} \right.\]
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số \[Y = \tan X\] cũng như hàm số \[Y = - {1 \over {\tan X}}\] là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
LG c
Đường thẳng có phương trình\[x = k\pi \][k là một số nguyên] là trục đối xứng của đồ thị hàm số\[y = \cos x\]
Lời giải chi tiết:
Điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] là điểm đối xứng của điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] qua đường thẳng \[x = k\pi \] [h.vẽ] khi và chỉ khi \[{{x + x'} \over 2} = k\pi ,y = y',\] tức là
\[\left\{ \matrix{{x'} = - x + k2\pi \hfill \cr {y'} = y \hfill \cr} \right.\]
Gọi[C] là đồ thị của hàm số \[y = \cos x.\]
[C] nhận đường thẳng \[x = k\pi \] làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thuộc C [tức là với mọi \[x,y = \cos x\]] điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\] nói trên cũng thuộc [C].
Điều này có nghĩa là
\[\cos x = \cos \left[ { - x + k2\pi } \right],\forall x \in R\]
Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do \[2\pi \] là chu kì của hàm số \[y = \cos x.\]
Vậy đường thẳng \[x = k\pi ,k \in Z\] là một trục đối xứng của đồ thị[C] của hàm số \[y = \cos x.\]
Cách chứng minh khác
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với \[I\left[ {k\pi ;0} \right];x = X + k\pi ;y = Y,\] thì đồ thị của hàm số \[y = \cos x\] trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số \[Y = \cos \left[ {X + k\pi } \right] = {\left[ { - 1} \right]^k}\cos X\] trong hệ tọa độ IXY.
Vì hàm số \[Y = \cos X\] cũng như hàm số \[Y = - \cos X\] là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IXY [tức là đường thẳng \[x = k\pi \]] làm trục đối xứng.