- LG a
- LG b
- LG c
Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau
LG a
\[y = {1 \over {x - 2}}\]trên mỗi khoảng \[[-; 2]\] và \[[2; +]\]
Lời giải chi tiết:
\[f[x] = {1 \over {x - 2}}\]
+ Với x1; x2 \[[-; 2]\] và x1 x2; ta có:
\[f[{x_2}] - f[{x_1}] = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} \]\[= {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]
\[= {{{x_1} - {x_2}} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}}\]
\[ \Rightarrow {{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}} < 0\]
[vì \[{x_1},{x_2} \in \left[ { - \infty ;2} \right] \]\[\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} - 2 < 0\\
{x_2} - 2 < 0
\end{array} \right. \]\[\Rightarrow \left[ {{x_1} - 2} \right]\left[ {{x_2} - 2} \right] > 0\]]
Vậy hàm số \[y = {1 \over {x - 2}}\]nghịch biến trên \[[-; 2]\]
+ Với x1; x2 \[[2; +]\] và x1 x2; ta có:
\[{{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {[{x_1} - 2][{x_2} - 2]}} < 0\]
Vậy hàm số \[y = {1 \over {x - 2}}\]nghịch biến trên \[[2; +]\]
Bảng biến thiên
LG b
y = x2 6x + 5 trên mỗi khoảng \[[-; 3]\] và \[[3; +]\]
Lời giải chi tiết:
f[x] = x2 6x + 5
+ Với x1; x2 \[[-; 3]\] và x1 x2; ta có:
f[x2] f[x1] = x22 6x2+ 5 [x12 6x1+ 5]
= x22- x12+ 6[x1 x2] = [x2 x1][x1+ x2 6]
\[ \Rightarrow {{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\][vì x1< 3; x2< 3]
Vậy hàm số y = x2 6x + 5 nghịch biến trên \[[-, 3]\]
+ Với x1; x2 \[[3, +]\] và x1 x2; ta có:
\[{{f[{x_2}] - f[{x_1}]} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\] [vì x1> 3; x2> 3]
Vậy hàm số y = x2 6x + 5 đồng biến trên \[[3;+]\]
Bảng biến thiên
LG c
y = x2005+ 1 trên khoảng \[[-; +]\]
Lời giải chi tiết:
Với mọi x1, x2 \[[-; +]\] , ta có x1< x2
\[\Rightarrow\] x12005< x22005
\[\Rightarrow\]x12005+ 1 < x22005+ 1
hay f[x1] < f[x2] [y = f[x] = x2005+ 1].
Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên\[[-; +]\]