- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:
LG a
\[\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: \[\sin 5x + \sin 3x = 2\sin 4x\cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\sin 5x + \sin 3x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x = \sin 4x\\
\Leftrightarrow \sin 4x\left[ {2\cos x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
2\cos x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
\cos x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}\\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {{k\pi } \over 4},x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \]
LG b
\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: \[\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x\cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\sin x + \sin 3x} \right] + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x\left[ {2\cos x + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 2x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = k\pi \\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,x = k{\pi \over 2}\]
LG c
\[\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta biến đổi phương trình đã cho như sau [để ý: \[\sin 4x = 4\sin x\cos x\cos 2x\]]:
\[\eqalign{
& \left[ {\cos x + \cos 3x} \right] + 2\cos \left[ {x + 4x} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\left[ {\cos 4x\cos x - \sin 4x\sin x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 4x\cos x - 8{\sin ^2}x\cos x\cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \cos 4x - 4{{\sin }^2}x\cos 2x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {\cos 2x + \left[ {2{{\cos }^2}x - 1} \right] - 2\left[ {1 - \cos 2x} \right]\cos 2x} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos x\left[ {4{{\cos }^2}2x - \cos 2x - 1} \right] = 0 \cr} \]
+] \[\cos x = 0 \] \[\Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \]
+] \[4{\cos ^2}x - \cos 2x - 1 = 0 \] \[\Leftrightarrow \cos 2x = {{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}\]
Do \[\left| {{{1 \pm \sqrt {17} } \over 8}} \right| < 1\] nên có các số \[\alpha \] và \[\beta \] sao cho \[\cos \alpha = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\] và \[\cos \beta = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\]. Từ đó:
\[\cos 2x = {{1 - \sqrt {17} } \over 8} \]\[\Leftrightarrow 2x = \pm \alpha + k2\pi \] \[ \Leftrightarrow x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi \]
\[\cos 2x = {{1 + \sqrt {17} } \over 8} \Leftrightarrow 2x = \pm \beta + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm {\beta \over 2} + k\pi \]
Kết luận: Phương trình đã cho các nghiệm \[x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {\alpha \over 2} + k\pi \] và \[x = \pm {\beta \over 2} + k\pi ,\]với \[\cos \alpha = {{1 - \sqrt {17} } \over 8}\] và \[\cos \beta = {{1 + \sqrt {17} } \over 8}\].
LG d
\[\cos 22x + 3\cos 18x \]\[+ 3\cos 14x + \cos 10x = 0\]
Lời giải chi tiết:
Vế trái phương trình được biến đổi thành:
\[\eqalign{
& \left[ {\cos 22x + \cos 10x} \right] + 3\left[ {\cos 18x + \cos 14x} \right]\cr& = 2\cos 16x\cos 6x + 6\cos 16x\cos 2x \cr
& = 2\cos 16x\left[ {\cos 6x + \cos 2x + 2\cos 2x} \right]\cr& = 2\cos 16x\left[ {2\cos 4x\cos 2x + 2\cos 2x} \right] \cr
& = 4\cos 16x\cos 2x\left[ {\cos 4x + 1} \right] \cr&= 8\cos 16x{\cos ^3}2x \cr} \]
Vậy phương trình đã cho tương đương với
\[\cos 16x{\cos ^3}2x = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 16x = 0 \hfill \cr
\cos 2x = 0 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {32}} + k{\pi \over {16}} \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\]