- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải và biện luận các phương trình sau [m và k là tham số]
LG a
[m - 1]x2+ 7x - 12 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m-1=0
- Xét \[m-1\ne 0\] và biện luận theo các trường hợp của \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \[[m - 1]x^2+ 7x - 12 = 0\]
- Với \[m = 1\], phương trình trở thành: \[7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\]
- Với \[m 1\], ta có: \[Δ = 7^2+ 4.12.[m 1] = 48m + 1\]
+ \[ Δ < 0 m < - {1 \over {48}}\] phương trình vô nghiệm
+ \[\Delta > 0 \Leftrightarrow m > - {1 \over {48}}\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[x_{1,2} = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2[m - 1]}}\]
+\[\Delta = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over {48}}\] thì phương trình có nghiệm kép \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{7}{{2.\left[ {m - 1} \right]}} \]\[= - \frac{7}{{2\left[ { - \frac{1}{{48}} - 1} \right]}} = \frac{{24}}{7}\]
Vậy,
\[m = 1\] thì pt có nghiệm \[x = - \frac{{12}}{7}\]
\[m < - \frac{1}{{48}}\] thì pt vô nghiệm
\[ - \frac{1}{{48}} < m \ne 1\] thì pt có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left[ {m - 1} \right]}}\]
\[m = - {1 \over {48}}\] thì pt có nghiệm kép \[x=\frac{{24}}{7}\]
LG b
mx2- 2[m + 3]x + m + 1 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m=0
- Xét \[m\ne 0\] và biện luận theo các trường hợp của \[\Delta' \].
Lời giải chi tiết:
mx2- 2[m + 3]x + m + 1 = 0
+ Với m = 0, phương trình trở thành:\[ - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\]
+ Với m 0. Ta có: Δ = [m + 3]2 m[m + 1] = 5m + 9
\[\Delta' < 0 \Leftrightarrow m < - {9 \over 5}\]phương trình vô nghiệm
\[\Delta' > 0 \Leftrightarrow m> - {9 \over 5}\], phương trình có hai nghiệm: \[x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]
\[\Delta' = 0 \Leftrightarrow m = - {9 \over 5}\]phương trình có nghiệm kép \[x = - \frac{{b'}}{a} = - \frac{{ - \left[ {m + 3} \right]}}{m} \]\[= \frac{{ - \frac{9}{5} + 3}}{{ - \frac{9}{5}}} = - \frac{2}{3}\]
Vậy,
Với m = 0, phương trình có nghiệm \[ x = {1 \over 6}\]
Với \[ m < - {9 \over 5}\]phương trình vô nghiệm
Với \[ 0\ne m > - {9 \over 5}\], phương trình có hai nghiệm: \[x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]
Với \[m = - {9 \over 5}\]phương trình có nghiệm kép \[x= - \frac{2}{3}\]
LG c
[[k + 1]x - 1][x - 1] = 0
Phương pháp giải:
Phương trình tích
\[AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left[ {\left[ {k + 1} \right]x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left[ {k + 1} \right]x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left[ {k + 1} \right]x = 1\,\,\,[1]\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]
+ Nếu k = -1 thì [1] là \[0x = 1\] [vô lí] nên [1] vô nghiệm.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
+ Nếu k -1 thì [1] có nghiệm \[x = {1 \over {k + 1}}\]
Ta có: \[{1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k + 1 = 1\Leftrightarrow k = 0\].
Do đó:
i] k = 0; S = {1}
ii] k 0 và k -1: \[S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\]
iii] k = -1: S = {1}
LG d
[mx - 2][2mx - x + 1] = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[[mx - 2][2mx - x + 1] = 0 \]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
2mx - x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
\left[ {2m - 1} \right]x + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr
[2m - 1]x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Nếu m=0 thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 2\left[ {VN} \right]\\ - x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\]
Nếu \[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 2\\0x = - 1\left[ {VN} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\]
Nếu \[m \ne 0\] và \[m \ne \frac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{m}\\x = - \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} \Leftrightarrow 2\left[ {1 - 2m} \right] = m\] \[ \Leftrightarrow 2 - 4m = m \Leftrightarrow 2 = 5m\] \[ \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\]
\[ \Rightarrow x = \frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} = 5\]
Vậy,
+ Nếu m = 0 thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 1
+ Nếu m = \[{1 \over 2}\]thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 4
+ Nếu \[m = \frac{2}{5}\] thì pt có nghiệm duy nhất \[x = 5\]
+ Nếu m 0, m \[{1 \over 2}\] và\[m \ne \frac{2}{5}\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[x_1 = {2 \over m};x_2 = {1 \over {1 - 2m}}\]