- LG a
- LG b
Cho hàm số
\[y = {{{x^2} + m} \over {x - 1}},m \ne - 1\]
LG a
Tìm m sao cho đồ thị [C] của hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng\[y = - x + 7\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[y = x + 1 + \frac{{m + 1}}{{x - 1}}\]
\[y' = 1 - \frac{{m + 1}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\]
Đồ thị [C ] tiếp xúc với đường thẳng \[y = - x + 7\]
\[ \Leftrightarrow \] hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 1 + \frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - x + 7\\1 - \frac{{m + 1}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\\frac{{m + 1}}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\\frac{1}{{x - 1}}.\left[ { - 2x + 6} \right] = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\ - 2x + 6 = 2\left[ {x - 1} \right]\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + 6\\ - 4x + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[m = 1\].
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho m = 1.
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 1\] ta có:
\[y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}\]
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ \[x = 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left[ {x + 1} \right]} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {\frac{2}{{x - 1}}} \right] = 0\] nên TCX: \[y = x + 1\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{2}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt 2 \\x - 1 = - \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
+] Đồ thị: