- LG a
- LG b
- LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
LG a
Đồ thị các hàm số \[y = {x^2} - 4\], \[y = - {x^2} - 2x\] và đường thẳng \[x = - 3,x = - 2;\]
Phương pháp giải:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right],y = g\left[ x \right],\] \[x = a,x = b\].
+] B1: Tìm nghiệm \[a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\] của phương trình hoành độ giao điểm \[f\left[ x \right] = g\left[ x \right]\].
+] B2: Tính diện tích theo công thức:
\[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + ... + \int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \] \[ + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
\[ = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]\[ + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + ... + \left| {\int\limits_{{x_{n - 1}}}^{{x_n}} {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\] \[ + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]dx} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Tính diện tích theo công thức
Ta có: \[{x^2} - 4 = - {x^2} - 2x\] \[ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\]
Có \[ - 3 < - 2 < 1\] nên \[S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|dx} \] \[ = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|dx} \] \[ = \left| {\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left[ {2{x^2} + 2x - 4} \right]dx} } \right|\]
\[ = \left| {\left[ {2.\frac{{{x^3}}}{3} + 2.\frac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right]_{ - 3}^{ - 2}} \right|\] \[ = \left| {\frac{{20}}{3} - 3} \right| = \frac{{11}}{3}\]
Cách 2: Xét dấu
Ta có
Ta thấy, khi \[ - 3 \le x \le - 2\] thì \[2{x^2} + 2x - 4 \ge 0\]
\[ \Rightarrow \left| {2{x^2} + 2x - 4} \right| = 2{x^2} + 2x - 4\].
Do đó,
\[S = \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|} dx \] \[= \int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left[ {2{x^2} + 2x - 4} \right]} dx\]
\[ = 2\int\limits_{ - 3}^{ - 2} {\left[ {{x^2} + x - 2} \right]} dx\]
\[ = 2\left. {\left[ {{{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} - 2x} \right]} \right|_{ - 3}^{ - 2} = {{11} \over 3}\]
Chú ý:
Khi việc xét dấu phức tạp ta nên làm theo cách 1 sẽ tránh được việc lập bảng xét dấu.
LG b
Đồ thị hai hàm số \[y = {x^2}\] và \[y = - {x^2} - 2x\]
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|dx} \] \[ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|dx} \] \[ = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {2{x^2} + 2x - 4} \right]dx} } \right|\]
\[ = \left| {\left[ {\dfrac{{2{x^3}}}{3} + \dfrac{{2{x^2}}}{2} - 4x} \right]_{ - 2}^1} \right|\] \[ = \left| { - \dfrac{7}{3} - \dfrac{{20}}{3}} \right| = \left| { - 9} \right| = 9\]
Cách 2:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[{x^2} - 4 = - {x^2} - 2x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.\]
Ta thấy, khi \[ - 2 \le x \le 1\] thì \[2{x^2} + 2x - 4 \le 0\]
\[ \Rightarrow \left| {2{x^2} + 2x - 4} \right| = -2{x^2} - 2x + 4\].
Do đó,
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} - 4 - \left[ { - {x^2} - 2x} \right]} \right|} dx \] \[= \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {2{x^2} + 2x - 4} \right|} dx\]
\[ = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ { - 2{x^2} - 2x + 4} \right]} dx \] \[= \left. {\left[ { - {{2{x^3}} \over 3} - {x^2} + 4x} \right]} \right|_{ - 2}^1 = 9\]
LG c
Đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 4x\], trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4
Lời giải chi tiết:
Cách 1:
Ta có: \[{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} - 4} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\]
Ta thấy, \[ - 2 < 0 < 2 < 4\]
\[ \Rightarrow S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \] \[ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx} \] \[+ \int\limits_2^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|dx}\] \[ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]dx} } \right|\] \[+\left| {\int\limits_2^4 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]dx} } \right|\]
\[ = \left| {\left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_0^2} \right|\] \[+\left| {\left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_2^4} \right|\] \[ = \left| {0 - \left[ { - 4} \right]} \right| + \left| { - 4 - 0} \right|+ \left| { 32 - [-4]} \right|\] \[ = 44\]
Cách 2:
\[S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^3} - 4x} \right|} dx \] \[= \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx - \int\limits_0^2 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx \] \[+ \int\limits_2^4 {\left[ {{x^3} - 4x} \right]} dx \]
\[ = \left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_{ - 2}^0 - \left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_0^2\] \[ + \left[ {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{4{x^2}}}{2}} \right]_2^4\]
\[ = 4 - \left[ { - 4} \right] + 36\]
\[= 44\]