- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Bốn điểm A[-1;2;3], B[2;-4;3],C[4;5;6], D[3;2;1] có thuộc cùng một mặt phẳng không ?
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Ta có \[\overrightarrow {AB} = [3; - 6;0],\overrightarrow {AC} = [5;3;3],\overrightarrow {AD} = [4;0; - 2]\]
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = [ - 18].4 + [ - 9].0 + 39.[ - 2] \]
\[= - 150 \ne 0.\]
Vậy A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng.
Cách 2:
Ta có phương trình mp[ABC] là -6x-3y+13z-39=0.
Thay tọa độ của điểm D[3;2;1] vào phương trình mặt phẳng đó , ta có được :
\[-6.3-3.2+13.1-39=-50\ne 0.\]
Điều đó chứng tỏ \[D \notin mp[ABC]\] hay bốn điểm A, B, C,D không đồng phẳng.
LG b
Tìm a để bốn điểm A[1;2;1], B[2;a;0], C[4;-2;5],D[6;6;6] thuộc cùng một mặt phẳng .
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left[ {1;a - 2; - 1} \right] \cr
& \overrightarrow {AC} \left[ {3; - 4;4} \right] \cr
& \overrightarrow {AD} \left[ {5;4;5} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left[ { - 36;5;32} \right] \cr} \]
A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:
\[\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 36.1 + 5.\left[ {a - 2} \right] + 32.\left[ { - 1} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5a = 78 \cr
& \Leftrightarrow a = {{78} \over 5} \cr} \]
LG c
Cho ba điểm A[1;1;1], B[3;-1;1], C[-1;0;2]. Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không ?
Lời giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I=[2;0;1].Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; - 2;0].\]
Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là
\[2[x - 2] - 2[y - 0] = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - 4 = 0\]
hay \[x-y-2=0.\]
Thay tọa độ điểm C[-1;0;2] vào phương trình mặt phẳng đó, ta có:
\[ - 1 - 0 - 2 = - 3 \ne 0.\]
Vậy điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.