- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
LG a
\[y = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} - 3x - {5 \over 3}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = {x^2} - 2x - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left[ { - 1} \right] = 0;\,\,y\left[ 3 \right] = {{ - 32} \over 3} \cr} \]
Bảng biến thiên:
\[y'' = 2x - 2\]
\[y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left[ 1 \right] = - {{16} \over 3}\]
Xét dấu y
Điểm uốn \[I\left[ {1; - {{16} \over 3}} \right]\]
Điểm đặc biệt: \[x = 0 \Rightarrow y = {{ - 5} \over 3}\]
Đồ thị: Đồ thị nhận \[I\left[ {1; - {{16} \over 3}} \right]\] làm tâm đối xứng.
LG b
\[y = {x^3} - 3x + 1\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left[ { - 1} \right] = 3;\,y\left[ 1 \right] = - 1 \cr} \]
Bảng biến thiên:
\[y'' = 6x;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left[ 0 \right] = 1\]
Xét dấu \[y\]
Điểm uốn \[I[0;1]\]
Điểm đặc biệt:\[x = 2 \Rightarrow y = 3\]
Đồ thị: Đồ thị nhận \[I[0;1]\] làm tâm đối xứng.
LG c
\[y = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2x - {2 \over 3}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \]
\[y' = - {x^2} + 2x - 2 < 0\] với mọi \[x \in\mathbb R\]
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Bảng biến thiên:
\[y'' = - 2x + 2\]
\[y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left[ 1 \right] = - 2\]
Xét dấu \[y\]
Điểm uốn \[I[1;-2]\]
Điểm đặc biệt:\[x = 0 \Rightarrow y = {{ - 2} \over 3}\]
Đồ thị: Đồ thị nhận \[I[1;-2]\] làm tâm đối xứng.
LG d
\[y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \]
\[y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0\] với mọi \[x \in\mathbb R\]
Dấu bằng chỉ xảy ra khi \[x = 1\]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\]
Bảng biến thiên:
Xét dấu \[y\]
Điểm uốn \[I[1;2]\]
Điểm đặc biệt: \[x = 0 \Rightarrow y = 1\]
Đồ thị: Đồ thị nhận \[I[1;2]\] làm tâm đối xứng.