- LG a
- LG b
Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau có dấu không đổi [không phụ thuộc vào x].
LG a
\[f[x] = 2{x^2} - [m + 2]x + {m^2} - m - 1;\]
Phương pháp giải:
Để tam thức bậc hai \[f[x] = a{x^2} + bx + c\] có dấu không đổi, tức là đồ thị của nó nằm hoàn toàn ở một phía so với trục hoành, hay PT \[f[x] = 0\] vô nghiệm.
điều kiện cần và đủ là \[\Delta = {b^2} - 4ac < 0\].
Lời giải chi tiết:
Để f[x] có dấu không đổi trên R thì:
\[{[m + 2]^2} - 8[{m^2} - m - 1] < 0\]\[ \Leftrightarrow - 7{m^2} + 12m + 12 < 0\]
\[ \Leftrightarrow m \in [ - \infty ;\dfrac{{6 - \sqrt {120} }}{7}] \cup [\dfrac{{6 + \sqrt {120} }}{7}; + \infty ].\]
LG b
\[f[x] = [{m^2} - m - 1]{x^2} - [2m - 1]x + 1.\]
Phương pháp giải:
Để tam thức bậc hai \[f[x] = a{x^2} + bx + c\] có dấu không đổi, tức là đồ thị của nó nằm hoàn toàn ở một phía so với trục hoành, hay PT \[f[x] = 0\] vô nghiệm.
điều kiện cần và đủ là \[\Delta = {b^2} - 4ac < 0\].
Lời giải chi tiết:
Nếu \[{m^2} - m - 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow m = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\]
Thay vào \[f\left[ x \right]\] ta thấy \[f\left[ x \right]\] là các nhị thức bậc nhất nên đổi dấu qua nghiệm [không thỏa mãn]
Để f[x] có dấu không đổi trên R thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 1 \ne 0\\{[2m - 1]^2} - 4[{m^2} - m - 1] < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 1 \ne 0\\5 < 0\end{array} \right.\] [vô lí]
Không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện này.