- LG a
- LG b
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \[y = {{x - 2} \over {2x + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\]
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {1 \over 2}} \right]}^ + }} y = - \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - {1 \over 2}} \right]}^ - }} y = + \infty \] nên đường thẳng \[x = - {1 \over 2}\] là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {1 \over 2}\] nên đường thẳng \[y = {1 \over 2}\]là tiệm cận ngang của đồ thị.
\[y' = {{1.1-2.[-2]} \over {{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}}} = {5 \over {{{\left[ {2x + 1} \right]}^2}}} > 0\] với mọi \[x \ne - {1 \over 2}\]
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - {1 \over 2}} \right]\] và \[\left[ { - {1 \over 2}; + \infty } \right]\]
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm \[[0;-2]\] và cắt trục hoành tại điểm \[[2;0]\].
LG b
Chứng minh rằng giao điểm \[I\] của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \[I\left[ { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\]
Công thức đổi trục tọa độ theo vecto \[\overrightarrow {OI} \] là:
\[\left\{ \matrix{
x = X - {1 \over 2} \hfill \cr
y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Phương trình của đồ thị \[[C]\] đối với trục \[IXY\]:
\[Y + {1 \over 2} = {{X - {1 \over 2} - 2} \over {2\left[ {X - {1 \over 2}} \right] + 1}} \] \[\Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X - {5 \over 2}} \over {2X}}= \frac{1}{2} - \frac{5}{{4X}}\] \[\Leftrightarrow Y = - {5 \over {4X}}\]
Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.