- LG a
- LG b
Giải các phương trình sau:
LG a
\[{x^{{{\log }_2}9}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {x^{{{\log }_2}3}};\]
Phương pháp giải:
Tổng hai hàm nghịch [đồng] biến là hàm nghịch [đồng] biến
Lời giải chi tiết:
Điều kiện x > 0. Áp dụng công thức \[{a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\] , ta có
\[{9^{{{\log }_2}x}} = {x^2}{.3^{{{\log }_2}x}} - {3^{{{\log }_2}x}};\] [1]
Chia hai vế của [1] cho \[{3^{{{\log }_2}x}}\] ta có
\[{3^{{{\log }_2}x}} ={x^2}-1\]
Đặt \[{\log _2}x = t\], ta có \[x = {2^t}\] dẫn đến phương trình
\[{3^t} = {4^t} - 1\] , tức là \[{\left[ {{3 \over 4}} \right]^t} + {\left[ {{1 \over 4}} \right]^t} = 1\] [2]
Vế trái của [2] là hàm nghịch biến [vì các cơ số \[{3 \over 4} < 1;{1 \over 4} < 1\]], còn về vế phải của [2] là hằng số, nên phương trình có nghiệm duy nhất \[t = 1\] . Suy ra \[x = 2\]
LG b
\[{3^x} - 4 = {5^{{x \over 2}}}.\]
Lời giải chi tiết:
Chia cả hai vế của phương trình cho \[{3^x}\left[ { = {{\left[ {\sqrt 9 } \right]}^x}} \right]\] , ta có
\[4{\left[ {\sqrt {{1 \over 9}} } \right]^x} + {\left[ {\sqrt {{5 \over 9}} } \right]^x} = 1\] [1]
Vế trái [1] là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Lại có \[x=2\] là nghiệm của [1] do đó \[x=2\] là nghiệm duy nhất của [1]