- LG a
- LG b
Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng \[[{d_1}]\] và \[[{d_2}]\] tương ứng với đồ thị của các hàm số \[y = 2x - 1\] và \[y = x.\]
Xây dựng dãy các điểm \[[{A_n}]\] nằm trên \[[{d_1}]\] và dãy các điểm \[[{B_n}]\] nằm trên \[[{d_2}]\] theo cách sau [h.3.3]:
\[ \bullet \] \[{A_1}\] và \[{B_1}\] tương ứng là giao điểm của đường thẳng \[x = {3 \over 2}\] với \[[{d_1}]\] và \[[{d_2}]\];
\[ \bullet \]Với mỗi số nguyên \[n \ge 2,{B_n}\] là giao điểm \[[{d_2}]\] với đường thẳng đi qua \[{A_{n - 1}}\] và song song với trục hoành, \[{A_n}\] là giao điểm của điểm \[[{d_1}]\] với đường đi qua \[{B_n}\] và song song với trục tung.
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu \[{u_n}\] là hoành độ của \[{A_n}\] và \[{h_n}\] là độ dài của đoạn thẳng \[{A_n}{B_n}\].
LG a
Chứng minh rằng dãy số \[[{h_n}]\] là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Lời giải chi tiết:
Với mỗi \[n \ge 1,\] kí hiệu \[{a_n}\] và \[{b_n}\] tương ứng với tung độ của điểm \[{A_n}\] và điểm \[{B_n}.\] Khi đó :
- Do \[{A_n}\] nằm trên \[\left[ {{d_1}} \right]\] nên \[{a_n} = 2{u_n} - 1.\]
- Do \[{B_n}\] là giao điểm của \[\left[ {{d_2}} \right]\] và đường thẳng đi qua \[{A_n}\], song song với trục tung \[{b_n} = {u_n}\]. Suy ra với mọi \[n \ge 1.\]
\[{h_n} = {a_n} - {b_n} = \left[ {2{u_n} - 1} \right] - {u_n} \]\[= {u_n} - 1\,\,[1]\]
Hơn nữa, với mỗi \[n \ge 1,\] do \[{B_{n + 1}}\] nằm trên đường thẳng đi qua \[{A_n}\] và song song với trục hoành nên \[{b_{n + 1}} = {a_n} = 2{u_n} - 1\]. Suy ra \[{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\] với mỗi \[n \ge 1.\]
Từ đó ta được \[{u_{n + 1}} - 1 = 2[{u_n} - 1]\] với mọi \[n \ge 1,\] hay \[{h_{n + 1}} = 2{h_n}\] với mọi \[n \ge 1\,\,\left[ {theo\left[ 1 \right]} \right].\] Vì thế, \[\left[ {{h_n}} \right]\] là một cấp số nhân với số hạng đầu
\[{h_1} = {u_1} - 1 = {3 \over 2} - 1 = {1 \over 2}\] và công bội \[q = 2\]
LG b
Dựa vào kết quả phần a], hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \[[{u_n}]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{h_n} = {h_1}.{q^{n - 1}} = {1 \over 2} \times {2^{n - 1}} = {2^{n - 2}}\] với mọi \[n \ge 1.\] Suy ra
\[{u_n} = {h_n} + 1 = {2^{n - 2}} + 1\] với mọi \[n \ge 1.\]