- LG 1
- LG 2
- LG 3
- LG 4
- LG 5
- LG 6
Trong không gianOxyzcho hai điểmA[3 ; 3 ; 1],B[0 ; 2 ; 1] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
LG 1
Viết phương trình đựờng thẳngAB.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d1đi qua điểmM1[0;2;-4]và có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} = [1; - 1;2].\] thẳng d2đi qua điểmM1[-8;6;10]và có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} = [2;1; - 1].\]
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = [ - 1;5;3],\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = [ - 8;4;14] \]
\[\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 70 \ne 0\]
\[ \Rightarrow {d_1},{d_2}\] chéo nhau.
LG 2
Viết phương trình hình chiếu vuông góc củaABtrên mp[P].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[\left[ \alpha \right]\] là mặt phẳng chứa d2và song song với d1. Khi đó \[mp[\alpha ]\] qua điểm \[{M_2}[ - 8;6;10]\] và có vec tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = [ - 1;5;3]\]
\[ \Rightarrow \left[ \alpha \right]:x - 5y - 3z + 68 = 0.\]
LG 3
Viết phương trình đường thẳngdnằm trong mp[P] mà mọi điểm củadcách đều hai điểmA, B.
Lời giải chi tiết:
\[d\left[ {{d_1},{d_2}} \right] = d[{M_1},\left[ \alpha \right] \]
\[= {{\left| {0 - 10 + 12 + 68} \right|} \over {\sqrt {1 + 25 + 9} }} = {{70} \over {\sqrt {35} }} = 2\sqrt {35} .\]
LG 4
Viết phương trình đường vuông góc chung củaABvàd.
Lời giải chi tiết:
Viết lại phương trình đường thẳng \[{d_1},{d_2}\] dưới dạng tham số. Từ đó :
\[M \in {d_1}\] nên M=[t;2-t;-4+2t]
\[N \in {d_2}\] nên N=[-8+2t;6+t;10-t]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = [ - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t].\]
Đường thẳngMNsẽ là đường thẳngdphải tìm khi \[MN\parallel Ox\] hay hai vec tơ \[\overrightarrow {MN} \]và \[\overrightarrow i [1;0;0]\] cùng phương, nghĩa là
\[\left\{ \matrix{ t' + t = - 4 \hfill \cr t' + 2t = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = 18 \hfill \cr t' = - 22. \hfill \cr} \right.\]
VậyM=[18;-16;32]và đường thẳng d phải tìm có phương trình tham số :
\[d:\left\{ \matrix{ x = 18 + t \hfill \cr y = - 16 \hfill \cr z = 32. \hfill \cr} \right.\]
LG 5
Tìm điểmKthuộc đường thẳngAB\[\left[ {K \ne B} \right]\]sao cho
\[d\left[ {K,\left[ P \right]} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}d\left[ {B,\left[ P \right]} \right].\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{ & A \in {d_1} \Rightarrow A = [t;2 - t; - 4 + 2t], \cr & B \in {d_2} \Rightarrow B = [ - 8 + 2t';6 + t';10 - t'], \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} = [ - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t]. \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \Leftrightarrow 6t + t' = 16, \cr & \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow t + 6t' = 26. \cr} \]
Giải hệ \[\left\{ \matrix{ 6t + t' = 16 \hfill \cr t + 6t' = 26 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ t = 2 \hfill \cr t' = 4 \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow A = [2;0;0] ; B = [0;10;6]. \]
Suy ra mặt cầu đườn kính AB có tâm I=[1;5;3], bán kính bằng \[\sqrt {35} \]. Phương trình của nó là :
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 35.\]
LG 6
Tìm điểmCtrên đường thẳngdsao cho diện tích tam giácABCnhỏ nhất.