Lý thuyết về hàm số liên tục
Tóm tắt kiến thức
1. Hàm số liên tục
Định nghĩa. Cho hàm số \[y = f[x]\] xác định trên khoảng \[K\] và \[x_0 K\] . Hàm số \[y = f[x]\] đươc gọi là liên tục tại \[x_0\] nếu\[\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f[x] = f[x_0]\].
+] Hàm số \[y = f[x]\] không liên tục tại \[x_0\] được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
+] Hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
+] Hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn \[[a; b]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[[a; b]\] và
\[\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim} f[x] = f[a]\];\[\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim} f[x]= f[b]\].
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
2. Các định lí
Định lí 1.
a] Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \[\mathbb R\].
b] Hàm số phân thức hữu tỉ [thương của hai đa thức] và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2.
Giả sử \[y = f[x]\] và \[y = g[x]\] là hai hàm số liên tục tại điểm \[x_0\].Khi đó:
a] Các hàm số \[y = f[x] + g[x], y = f[x] - g[x]\] và \[y = f[x]. g[x]\] liên tục tại \[x\];
b] Hàm số \[y = \dfrac{f[x]}{g[x]}\]liên tục tại \[x_0\] nếu \[g[x_0] 0\].
Định lí 3.
Nếu hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn \[[a; b]\] và \[f[a].f[b]