Giao tuyến của 2 mặt phẳng là một chủ đề hình học hay, nó thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Nếu bạn muốn đạt điểm cao buộc phải biết cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Bài viết này sẽ giúp bạn
1. Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng. Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng này chính là điểm chung cần tìm.
Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến [tức tìm trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau].
2. Bài tập giao tuyến
Bài 1. Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và BC sao cho MN không song song với AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
a] [SMN] và [SAC].
b] [SAN] và [SCM].
Lời giải
a] Trong [ABC], gọi K = MN ∩ AC, ta có
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SK
b] Trong [ABC], gọi H = AN ∩ CM, ta có
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng SH
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD, trong đó mặt đáy ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
a] [SAC] và [SBD]
b] [SAB] và [SCD]
c] [MBC] và [SAD].
Lời giải
a] Trong [ABCD], gọi E = AC ∩ BD, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ E \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy đường thẳng giao tuyến là SE
b] Trong [ABCD], gọi F = AB ∩ CD, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] \hfill \\ F \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SF.
c] Trong [ABCD], gọi K = AD ∩ CB, ta có
$\left\{ \begin{gathered} M \in \left[ {MBC} \right] \cap \left[ {SAD} \right] \hfill \\ K \in \left[ {MBC} \right] \cap \left[ {SAD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là MK
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD và AB > CD. Lấy điểm M trên đoạn BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây
a] [SAC] và [SBD]
b] [SAD] và [SBC]
c] [SAM] và [SBD]
d] [SDM] và [SAB].
Lời giải
a] Trong [ABCD], gọi E = AC ∩ BD, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ K \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy đường thẳng giao tuyến là SE.
b] Trong [ABCD], gọi K = AD ∩ CB, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SBC} \right] \cap \left[ {SAD} \right] \hfill \\ K \in \left[ {SBC} \right] \cap \left[ {SAD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SK
c] Trong [ABCD], gọi F = AM ∩ DB, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SAM} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ F \in \left[ {SAM} \right] \cap \left[ {SBD} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SF
d] Trong [ABCD], gọi = DM ∩ AB, ta có
$\left\{ \begin{gathered} S \in \left[ {SDM} \right] \cap \left[ {SAB} \right] \hfill \\ H \in \left[ {SDM} \right] \cap \left[ {SAB} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là SH.
Trên đây là hướng dẫn giúp bạn tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Hy vọng với những chia sẻ trên không chỉ giúp bạn hiểu rõ lý thuyết mà còn biết cách làm các bài tập giao tuyến của hai mặt phẳng. Chúc bạn học tốt.
A. Phương pháp giải
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai.
Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai?
A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] là SO.
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SAD] và [SBC] là SI.
D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt.
Lời giải
Xét các phương án:
+ Phương án A:
Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: [SAB]; [SBC]; [SCD] và [SAD]. Do đó A đúng.
+ Phương án B:
Ta có:
Do đó B đúng
+ Tương tự, ta có SI = [SAD] ∩ [SBC]. Do đó C đúng.
+ Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng [ABCD]. Xác định giao tuyến của mặt phẳng [SAC] và mặt phẳng [SBD].
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD.
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD.
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC.
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Ta có : S ∈ [SAC] ∩ [SBD] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi giao điểm của AC và BD là O. [ bạn đọc tự vẽ hình]
– Vì
+ Từ [1] và [2] suy ra SO = [SAC] ∩ [SBD]
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng [ABCD]. Xác định giao tuyến của mặt phẳng [SAB] và mặt phẳng [SCD]
A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD
B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD
C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Ta có: S ∈ [SAB] ∩ [SCD] [1]
+ Trong mp[ABCD] gọi giao điểm của AB và CD là I. [bạn đọc tự vẽ hình]
Vì
+ Từ [1] và [2] suy ra SI = [SAB] ∩ [SCD]
Chọn B
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng [ACD] và [GAB] là:
A. AN trong đó N là trung điểm CD
B. AM trong đó M là trung điểm của AB.
C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG.
D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD.
Lời giải
+ Ta có: A ∈ [ABG] ∩ [ACD] [1]
+ Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD.
Từ [1] và [2] suy ra: NA = [ABG] ∩ [ACD]
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mp[α] – chứa tam giác BCD . Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây ?
A. [BCD] và [DEF]
B. [BCD] và [ABC]
C. [BCD] và [AEF]
D. [BCD] và [ABD]
Lời giải
Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; I ∈ [BCD]. [1]
Chọn D
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng [MBD] và [ABN] là:
A. Đường thẳng MN
B. Đường thẳng AM
C. Đường thẳng BG [G là trọng tâm tam giác ACD]
D. Đường thẳng AH [ H là trực tâm tam giác ACD]
Lời giải
+ Ta có: B ∈ [MBD] ∩ [ABN]. [1]
+ Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD
Từ [1] và [ 2] suy ra: BG = [ABN] ∩ [MBD]
Chọn C
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD [ AB// CD]. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chóp S.ABCD có mặt bên
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] là SO [O là giao điểm của AC và BD]
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SAD] và [SBC] là SI [I là giao điểm của AD và BC]
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SAB] và [SAD] là đường trung bình của ABCD
Lời giải
Chọn D
+ Hình chóp S.ABCD có mặt bên [SAB], [SBC]; [SCD] và [SAD] nên A đúng.
+ S và O là hai điểm chung của [SAC] và [SBD] nên B đúng.
+ S và I là hai điểm chung của [SAD] và [SBC] nên C đúng.
+ Giao tuyến của [SAB] và [SAD] là SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng [MIJ] và [ACD] là đường thẳng:
A. KM B. AK C. MF D. KF
Lời giải
Chọn D.
+ Do K là giao điểm của IJ và CD nên: K ∈ [MIJ] ∩ [ACD] [1]
+ Ta có F là giao điểm của ME và AH
Mà AH ⊂ [ACD], ME ⊂ [MIJ] nên F ∈ [MIJ] ∩ [ACD] [2]
Từ [1] và [2] có [MIJ] ∩ [ACD] = KF
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng [ABCD] và [AIJ] là:
A. AK với K là giao điểm IJ và BC
B. AH với H là giao điểm IJ và AB
C. AG với G là giao điểm IJ và AD
D. AF với F là giao điểm IJ và CD
Lời giải
Chọn D.
+ A là điểm chung thứ nhất của [ABCD] và [AIJ]
+ IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC; AD; AB
Nên F là điểm chung thứ hai của [ABCD] và [AIJ]
Vậy giao tuyến của [ABCD] và [AIJ] là AF
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC . Tìm giao tuyến của mp[EFG] và mp[SBC]
A. FM trong đó M là giao điểm của AB và EG.
B. FN trong đó N là giao điểm của AB và EF.
C. FT trong đó T là giao điểm của EG và SB.
D. Đáp án khácHiển thị lời giải
+ Trong mp[SAB]; gọi H là giao điểm của EF và AB.
+ Trong mp[ABC]; gọi HG cắt AC; BC lần lượt tại I và J.
Từ [1] và [2] suy ra: JF = [EFG] ∩ [SBC]
Chọn D
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng [SMN] và [SAC] là:
A. SD
B. SO
C. SG [G là trung điểm của AB]
D. SF [F là trung điểm của MD]
Hiển thị lời giải
+ Ta có: S ∈ [SMN] ∩ [SAC] [1]
+ Trong mặt phẳng [ABCD] có:
AM = NC = 1/2 AD và AM // NC
⇒ Tứ giác AM CN là hình bình hành.
Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN [tính chất hình bình hành]
+ Ta có:
Từ [1] và [2] suy ra: SO = [SAC] ∩ [SMN]
Chọn B
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB; gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tứ giác IJCD là hình thang
B. Giao tuyến của [SAB] và [IBC] là IB.
C. Giao tuyến của [SBD] và [JCD] là JD.
D. Giao tuyến của [IAC] và [JBD] là AO.Hiển thị lời giải
+ Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB
⇒ IJ // AB
Mà AB // CD [ vì ABCD là hình chữ nhật]
⇒ IJ // CD
⇒ Tứ giác IJCD là hình thang. Do đó A đúng.
+ Ta có:
I ∈ [SAB] ∩ [IBC] Và B ∈ [SAB] ∩ [IBC]
⇒ IB = [ SAB] ∩ [IBC]
Do đó B đúng
+ Ta có:
J ∈ [SBD] ∩ [JBD] Và D ∈ [SBD] ∩ [JBD]
⇒ JD = [SBD] ∩ [JBD]
Do đó C đúng
+ Trong mặt phẳng [IJCD] , gọi M là giao điểm của IC và JD
Khi đó: giao tuyến của [IAC] và [JBD] là MO
Do đó D sai
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang [AD // BC]. Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng [MSB] và [SAC] là:
A. SI [I là giao điểm của AC và BM]
B. SJ [J là giao điểm của AM và BD]
C. SO [O là giao điểm của AC và BD]
D. SP [P là giao điểm của AB và CD]
Hiển thị lời giải
+ Ta có:
S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng [SBM] và [SAC] [1]
+ Ta có:
Từ [1] và [2] suy ra: SI = [SBM] ∩ [SAC]
Chọn A
Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của [IBC] và [KAD] là
A. IK B. BC C. AK D. DK
Hiển thị lời giải
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng [IBC] và [KAD] là IK
Chọn A
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang [AB // CD]. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [ADM] và [SAC].
A. SI
B. AE với E là giao điểm của DM và SI
C. DM
D. DE với E là giao điểm của DM và SI
Hiển thị lời giải
+ Ta có: A ∈ [ADM] ∩ [SAC] [1]
+ Trong mặt phẳng [SBD], gọi E là giao điểm của SI và DM .
Ta có:
E ∈ SI ⊂ [SAC] nên E ∈ [SAC]
E ∈ DM ⊂ [ADM] nên E ∈ [ADM]
Do đó E ∈ [ADM] ∩ [SAC] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: EA = [ADM] ∩ [SAC]
Chọn B
Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng [ACD] và [IJM]:
A. KI B. KJ C. MI D. MH
Hiển thị lời giải
+ Trong mặt phẳng [BCD]; ta có IJ cắt CD tại H nên H ∈ [ACD]
+ 3 điểm H; I và J thẳng hàng suy ra bốn điểm M; I; J; H đồng phẳng
⇒ Trong mặt phẳng [IJH], MH cắt IJ tại H và MH ⊂ [IJM] [1]
+ Mặt khác:
Từ [1] và [2] suy ra: MH = [ACD] ∩ [IJM]
Chọn D
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng [ACD] tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM = [ACD] ∩ [ABG]
B. A; J; M thẳng hàng
C. J là trung điểm AM
D DJ = [ACD] ∩ [BDJ]
Hiển thị lời giải
vậy A đúng
+ ba điểm A; J và M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt [ACD] và [ABG] nên A; J; M thẳng hàng, vậy B đúng.
+ Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD//BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng [SAB] tại J . Khẳng định nào sau đây sai?
A. S, I; J thẳng hàng
B. DM ⊂ mp[SCI]
C. JM ⊂ mp[SAB]
D. SI = [SAB] ∩ [SCD]
Hiển thị lời giải
Chọn C
+ Ba điểm S; I và J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp [SAB] và [SCD] nên A đúng
Khi đó; giao tuyến của hai mặt phẳng [SAB] và [SCD] là SI
⇒ D đúng
+ M ∈ SC ⇒ M ∈ [SCI] nên DM ⊂ mp[SCI], vậy B đúng
+ M ∉ [SAB] nên JM ⊄ mp[SAB]. Vậy C sai
GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
I. Các phương pháp:
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β]
cần thực hiện:
– Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của α và [β]
.- Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm [AB=[α]∩[β]]
.Chú ý : Để tìm chung của [α] và [β]
thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần
lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng.
Phương pháp 2
Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung S
.Lúc này ta có hai trường hợp:
– TH1: Hai mặt phẳng [α] và [β] theo thứ tự chứa hai đường thẳng d1 và d2 mà d1∩d2=I
.⇒SI là giao tuyến cần tìm [tức là [α]∩[β]]=SI
]
– TH2: Hai mặt phẳng [α] và [β] lần lượt chứa hai đường thẳng d1 và d2 mà d1//d2
. Dựng xSy song song với d1 hoặc d2
.⇒xSy là giao tuyến cần tìm. [tức là [α]∩[β]]=xSy
].
II. Các bài tập tự luận có lời giải chi tiết:
III. Các bài tập tự luyện:
Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Tập hợp các điểm chung đó của hai mặt phẳng tạo thành một đường thẳng, được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng này.
Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.
1. Phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β], chúng ta xét các khả năng sau:
- Nếu nhìn thấy ngay hai điểm chung A và B của hai mặt phẳng [α] và [β].
Kết luận đường thẳng AB chính là giao tuyến cần tìm.
Nếu chỉ chỉ tìm được ngay một điểm chung S của mặt phẳng [α] và mặt phẳng [β]. Lúc này, ta xét ba khả năng:
- Hai mặt phẳng [α],[β] theo thứ tự chứa hai đường thẳng d1,d2 mà d1 và d2 cắt nhau tại I thì SI chính là giao tuyến cần tìm.
Đối với các em học sinh lớp 11 đầu năm thì chưa học đến quan hệ song song trong không gian nên sử dụng các kết quả trên là đủ. Sau khi các em học sang phần đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc các em học sinh lớp 12 thì sẽ sử dụng thêm các kết quả sau:
- Hai mặt phẳng [α],[β] theo thứ tự chứa hai đường thẳng d1,d2 mà d1 và d2 song song với nhau thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua S đồng thời song song với cả d1,d2.
Nếu mặt phẳng [α] chứa đường thẳng a mà a lại song song với [β] thì giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua S đồng thời song song với đường thẳng a.
Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Một số lưu ý.
- Cho mặt phẳng [ABC] thì các điểm A,B,C thuộc mặt phẳng [ABC]; các đường thẳng AB,AC,BC nằm trong mặt phẳng [ABC], và do đó mọi điểm thuộc những đường thẳng này đều thuộc mặt phẳng [ABC].
- Hai đường thẳng chỉ cắt nhau được nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng nào đó, nên khi gọi giao điểm của hai đường thẳng ta phải xét trong một mặt phẳng cụ thể.
- Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta chú ý tới tên gọi của chúng.
- Thường phải mở rộng mặt phẳng, tức là kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng đó.
2. Một số ví dụ tìm giao tuyến của 2 mp
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có I là trung điểm của BD. Gọi E,F lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và CBD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [IEF] và [ABC].
Hướng dẫn.
Rõ ràng E là trọng tâm của tam giác ABD nên E phải nằm trên đường thẳng AI. Suy ra, điểm A thuộc vào đường thẳng IE. Tương tự, có điểm F thuộc vào đường thẳng CI.
- hay A là một điểm chung của hai mặt phẳng [IEF] và [ABC].
- Tương tự, các em cũng chỉ ra được C là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng [IEF] và [ABC].
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng [IEF] và [ABC] là đường thẳng AC.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
- [SAB] và [SAC],
- [SAB] và [SCD],
- [SAD] và [SBC],
- [SAC] và [SBD],
- [SEF] và [SAD],
Hướng dẫn.
- Dễ thấy hai mặt phẳng [SAB] và [SAC] cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng SA.
Ta thấy ngay [SAB] và [SCD] có một điểm chung là S. Để tìm điểm chung thứ hai, chúng ta dựa vào đề bài AB cắt CD tại E. Tức là có
- Như vậy E là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng [SAB] và [SCD].
Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng [SAB] và [SCD] là đường thẳng SE. - Tương tự ý 2, các em tìm được giao tuyến của [SAD] và [SBC] là đường thẳng SF.
- Giao tuyến của [SAC] và [SBD] là đường thẳng SO, trong đó O là giao điểm của AC và BD.
- [SEF] và [SAD] chính là đường thẳng SF.
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có M thuộc miền trong tam giác ABC. Xác định giao tuyến của mặt phẳng [ADM] và mặt phẳng [BCD].
Hướng dẫn.
Đầu tiên, chúng ta thấy ngay một điểm chung của hai mặt phẳng [ADM] và [BCD] là điểm D. Như vậy, nhiệm vụ của chúng ta là đi tìm một điểm chung nữa của hai mặt phẳng này.
Trong mặt phẳng [ABC], kéo dài AM cắt BC tại N. Ta thấy
nên N chính là một điểm chung nữa của hai mặt phẳng [ADM] và [BCD].
Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng [ADM] và [BCD] là đường thẳng DN.
Ví dụ 4. Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc cùng một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB,AC,BD lấy lần lượt các điểm M,N,P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của [BCD] và [MNP].
Hướng dẫn.
Vì P ∈ BD mà BD ⊂ [SBD] ⇒ P là một điểm chung của hai mặt phẳng [MNP] và [SBD].
Chúng ta cần tìm thêm một điểm chung nữa. Vì MN không song song với BC nên kẻ đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại I.
Khi đó,
- I ∈ MN mà MN ⊂ [MNP] ⇒ I ∈ [MNP]
- I ∈ BC mà BC ⊂ [SBC] ⇒ I ∈ [SBC]
Do vậy, I là một điểm chung của hai mặt phẳng [SBC] và [MNP].
Vậy, PI là giao tuyến của hai mặt phẳng [SBC] và [MNP].
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có M thuộc miền trong tam giác ABC, N thuộc miền trong tam giác ABD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng [BMN] và mặt phẳng [ACD].
Hướng dẫn.
Trong mặt phẳng [ABC], kéo dài BM cắt AC tại P thì ta có:
- P∈MB mà MB nằm trong mặt phẳng [BMN] nên P cũng thuộc mặt phẳng [BMN];
- P∈AC mà AC nằm trong mặt phẳng [ACD] nên P cũng thuộc mặt phẳng [ACD];
Như vậy, P là một điểm chung của hai mặt phẳng [BMN] và [ACD].
Tương tự, trong mặt phẳng [ABD] kéo dài BN cắt AD tại Q thì cũng chỉ ra được Q là một điểm chung của hai mặt phẳng [BMN] và [ACD].
Tóm lại, giao tuyến của hai mặt phẳng [BMN] và [ACD] là đường thẳng PQ.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SAC] và [SBD]
Giải:
Ta thấy S là điểm chung của [SAC] và [SBD]
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AD. P là một điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = 2PC. Hãy tìm giao tuyến của mặt phẳng [MNP] và [BCD]
Giải:
Do AP=2PC nên MP không song song BC và NP không song song DC nên kéo dài chúng cắt nhau.
Ở cách này, ta chú ý đi tìm 2 điểm chung, thông thương điểm chung thứ nhất rất dễ nhận thấy, còn điểm chung thứ hai, ta cần để ý có hai đường thẳng nào đồng phẳng và không song song, kéo dài ra chúng sẽ cắt nhau tại một điểm nào đó.
Dạng Toán: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [cách 2]
PHƯƠNG PHÁP:
– Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
– Tìm cách chứng minh giao tuyến đó song song với một đường thẳng nào đó.
Khi đó, giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với một đường thẳng vừa chứng minh xong.
Cách này áp dụng khi ta đã tìm được một điểm chung, và khi bắt tay vào tìm điểm chung thứ hai thì khó khăn,tìm hoài mà không thấy nó là giao điểm của hai đường nào cả. Thì lúc này hãy nghĩ ngay đến cách này, có thể chứng minh giao tuyến đó song song với đường nào đó hay không.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. P là một điểm thuộc cạnh SB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng [SBD] và [MNP]
Giải:
Hình sau đây hai mặt phẳng được tô màu:
Giao tuyến của hai mặt phẳng
1. Bài toán
Viết phương trình của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
Viết phương trình của đường thẳng d
Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng,tìm giao điểm
Dạng toán 1. Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng
Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [α] và [β] ta đi tìm hai điểm chung I; J của mp[α] và mp[β].
Dạng toán 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ mp[α]. Ta cần tìm xem d có cắt đường thẳng nào của mp[α] khôngPhương pháp 1: Nếu đã có sẵn đường thẳng a cắt d+ Bước 1: Tìm a ⊂ [α]+ Bước 2: Chỉ ra được a, d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M: d ∩ [α] = M [hình vẽ]Phương pháp 2: Nếu chưa nhìn thấy đường thẳng nào cắt được d, ta cần dựng đường thẳng đó+ Bước 1: Tìm [β] chứa d thích hợp+ Bước 2: Tìm giao tuyến a của [α] và [β]
+ Bước 3: Xác định giao điểm của a và d