Hôm nay, Kiến Guru sẽ cùng bạn tìm hiểu về 1 chuyên đề toán lớp 12: Tìm Max và Min của hàm số. Đây là một chuyên đề vô cùng quan trọng trong môn toán lớp 12 và cũng là kiến thức ăn điểm không thể thiếu trong bài thi toán THPT Quốc Gia. Bài viết sẽ tổng hợp 2 dạng thường gặp nhất khi bước vào kì thi. Các bài tập liên quan đến 2 dạng trên hầu như các bài thi thử và các đề thi càng năm gần đây đều xuất hiện. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Chuyên đề toán lớp 12 – Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Bạn đang xem: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp giải áp dụng toán giải tích lớp 12
* Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; x3; ..; xntrên , tại đó f"[x] = 0 hoặc f"[x] không xác định.
* Bước 2: Tính f[a]; f[x1]; f[x2]; f[x3]; ...; f[xn]; f[b].
* Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì .
{M}=f[x] m=f[x]
2. Ví dụ minh họa giải chuyên đề toán đại lớp 12: tìm giá trị max, min của hàm số.
Ví dụ 1:Giá trị lớn nhất của hàm số f[x] = x3– 8x2+ 16x - 9 trên đoạn là:
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên
Ta có đạo hàm y"= 3x2– 16x + 16
Do đó :
Suy ra ta chọn đáp án B.
Ví dụ 2:Giá trị lớn nhất của hàm số f[x] = x4– 2x2+ 1 trên đoạn là:
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên
Ta có y" = 4x3- 4x = 4x[x2- 1].
Xét trên [0;2] ta có f"[x] = 0 khi x = 1.
Khi đó f[1] = 0; f[0] = 1; f[2]= 9
Do đó
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3:Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x[x + 2].[x + 4].[x + 6] + 5 trên nữa khoảng
Nhận xét: Hàm số f[x] liên tục trên
* Ta có: y = [x2+ 6x].[x2+ 6x + 8] + 5.
Đặt t = x2+ 6x. Khi đó y = t.[t + 8] + 5 = t2+ 8t + 5
* Xét hàm số g[x]= x2 + 6x với x ≥ -4.
Ta có g"[x] = 2x + 6; g"[x] = 0 khi và chỉ khi x = -3
Bảng biến thiên:
Suy ra t ∈
* Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = h[t]= t2+ 8t + 5 với t ∈
* Ta có h"[t] = 2t + 8
h"[t] = 0 khi t = - 4;
Bảng biến thiên
Vậy
Suy ra chọn đáp án B.
II. Chuyên đề toán lớp 12 - Dạng 2: Tìm m để hàm số có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện.
1. Phương pháp giải áp dụng tính chất toán học 12.
Xem thêm: Công Thức Tính Thời Gian Hoàn Vốn Có Chiết Khấu, Ưu Điểm Và Hạn Chế
Cho hàm số y = f[x;m] liên tục trên đoạn . Tìm m để giá trị max; min của hàm số thỏa mãn điều kiện T:
Bước 1. Tính y’[x].
+ Nếu y"[x] ≥ 0; ∀x trên đoạn thì hàm số sẽ đồng biến trên
⇒ Hàm số đạt min tại x = a; hàm số max nhất tại x = b
+ Nếu y"[x] ≤ 0; ∀x trên đoạn thì hàm số sẽ nghịch biến trên
⇒ Hàm số min tại x = b và đạt max tại x = a.
+ Nếu hàm số không đơn điệu trên đoạn ta sẽ làm như sau:
Giải phương trình y" = 0.
Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra min và max của hàm số trên .
Bước 2. Kết hợp với giả thuyết ta suy ra giá trị m cần tìm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:Tìm m để max của hàm số sau trên đoạn bằng -4
A. m = 1 hoặc m = -1 B. m = 2 hoặc m = -2
B. m = 3 hoặc m = -3 D. m = 4 hoặc m = -4
Đạo hàm
Suy ra hàm số f[x] đồng biến trên
Nên
Theo giả thiết ta có:
⇔ m2= 9 nên m = 3 hoặc m = -3
Suy ra chọn đáp án C.
Ví dụ 2:Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f[x] = -x3– 3x2+ a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn là 0
A. a = 2 B. a = 6
C. a = 0 D. a = 4
Đạo hàm f"[x] = -3x2- 6x
Xét phương trình:
Suy ra chọn đáp án D.
Ví dụ 3:Cho hàm số:
[với m là tham số thực] thỏa mãny =3
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 3
C. m > 4 D. m
Đạo hàm
* Trường hợp 1.
Với m > -1 suy ra
nên hàm số f[x] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó
* Trường hợp 2.
Với m
nên hàm số f[x] đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m > 4.
Suy ra chọn đáp án C.
Trên đây là 2 dạng giải bài tập trong chuyên đề toán lớp 12: tìm max, min của hàm số mà Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn. Ngoài làm các bài tập trong chuyên đề này, các bạn nên trau dồi thêm kiến thức, bên cạnh đó là làm thêm các bài tập để nhuần nhuyễn 2 dạng bài tập này. Vì đây là 2 phần câu hỏi được đánh giá là dễ ăn điểm nhất trong đề thi toán lớp 12, hãy làm cho mình một cách làm thật nhanh để giải quyết nhanh gọn nhất bên cạnh đó cũng phải tuyệt đối chính xác để không mất điểm nào trong câu này. Chúc các bạn học tập tốt.
| Bài tập 1: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;3] bằng 10. A. $m=3.$ B. $m=-6.$ C. $m=-7.$ D. $m=-8.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{2}}+4x-m$ trên [-1;3], có $f'[x]=-2x+4$
Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 3 \\ {} -2x+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=2$
Tính $f[-1]=-5-m;f[2]=4-m;f[3]=3-m$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[2]=4-m=10\Rightarrow m=-6$
| Bài tập 2: Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] bằng 0. A. $a=2.$ B. $a=6.$ C. $a=0.$ D. $a=4.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Xét hàm số $f[x]=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+a$ trên [-1;1], có $f'[x]=-3{{x}^{2}}-6x$
Phương trình$f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le x\le 1 \\ {} -3{{x}^{2}}-6x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=0$
Tính $f[-1]=-2+a;f[0]=a;f[1]=-4+a$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=-4+a=0\Rightarrow a=4.$
| Bài tập 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-[{{m}^{2}}+m+1]x$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng – 6. Tính tổng các phần tử của S. A. 0. B. 4. C. – 4. D. $2\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có $f'[x]=-3{{x}^{2}}+2mx-{{m}^{2}}-m-1;\forall x\in \mathbb{R}.$ Mà $\Delta '=-2{{m}^{2}}-3m-30\Rightarrow f[x]$ là hàm số đồng biến trên $[0;1]$
Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f[x]=f[1]=\frac{1-m}{3};\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[0]=-\frac{m}{2}$
Theo bài ra, ta có $\frac{1-m}{3}\ge 2\left[ -\frac{m}{2} \right]\Leftrightarrow 1-m\ge -3m\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$
Kết hợp với $m\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 11 giá trị nguyên m
- TH2. Với $m0;\forall x\ne m$
Với $x=m\notin \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>4 \\ {} m4 \\ {} m0$
Lại có $f'[x]=4a{{x}^{3}}+2bx$ mà $\underset{[-\infty ;0]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[-1]\Rightarrow f'[-1]=0\Leftrightarrow b=-2a$
Do đó $f[x]=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$
Xét hàm số $f[x]=a{{x}^{4}}-2a{{x}^{2}}+c$ trên $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$ có $f'[x]=4a{{x}^{3}}-4ax$
Phương trình $f'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} 4a{{x}^{3}}-4ax=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{2}\le x\le 2 \\ {} x[{{x}^{2}}-1]=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$
Tính $f\left[ \frac{1}{2} \right]=c-\frac{7a}{16};f[1]=c-a;f[2]=8a+2.$ Vậy $\underset{\left[ \frac{1}{2};2 \right]}{\mathop{\min }}\,f[x]=f[1]=c-a.$
Bài tập 11: Hỏi tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn [0;2] bằng 5? A. $[-\infty ;-5]\cup [0;+\infty ].$ B. $[-5;-2].$ C. $[-4;-1]\cup [5;+\infty ].$ D. $[-4;-3].$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $f[x]={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+m$ trên [0;2], có $f'[x]=4{{x}^{3}}-4x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-1 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m+8 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m-1 \right|;\left| m+8 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-1 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \left| m-1 \right|=5 \\ {} \left| m-1 \right|\ge \left| m+8 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-4$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m+8 \right|\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array} {} \left| m+8 \right|=5 \\ {} \left| m+8 \right|\ge \left| m-1 \right| \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-3$
Vậy có 2 giá trị m cần tìm và thuộc khoảng $[-5;-2].$
Bài tập 12: Cho hàm số $f[x]=\left| 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ -1;3 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f[x]\le 3$ ? A. 4. B. 8. C. 13. D. 39.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Xét hàm số $g[x]=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [-1;3], có $g'[x]=6{{x}^{2}}-6x;g'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[1]=\left| m-1 \right|;f[3]=\left| m+27 \right| \\ \end{array} \right.$. Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| m-5 \right|;\left| m+27 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m-5 \right|\Leftrightarrow \left| m-5 \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le m-5\le 3\Leftrightarrow 2\le m\le 8$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 2;3;4;...;8 \right\}$. Thử lại $\Rightarrow $ có 6 giá trị nguyên âm m cần tìm.
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;3]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| m+27 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m+27 \right|\le \left\{ \left| m-5 \right|;\left| m \right|;\left| m-1 \right| \right\} \\ {} \left| m+27 \right|\le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -30\le m\le -24$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có 7 giá trị nguyên m cần tìm.
Vậy có tất cả 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 13: Cho hàm số $y=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ [với m là tham số thực]. Hỏi $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là? A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $f[x]={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ trên [1;2], có $f'[x]=3{{x}^{2}}-6x;f'[x]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left| f[0] \right|=\left| m \right|;\left| f[1] \right|=\left| m-2 \right|;\left| f[2] \right|=\left| m-4 \right|$ suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left\{ \left| m \right|;\left| m-4 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m \right|\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge \left| m-4 \right|\Leftrightarrow m\ge 2\xrightarrow{{}}\left| m \right|\ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\left| m-4 \right|\xrightarrow{{}}\left| m-4 \right|\le \left| m \right|\Leftrightarrow m\le 2\xrightarrow{{}}m-4\le -2\Leftrightarrow \left| m-4 \right|\ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=2$. Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2]}{\mathop{\max }}\,y$ có giá trị nhỏ nhất là 2.
Bài tập 14: Có bao nhiêu số thực m để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|$ có giá trị lớn nhất trên [-3;2] bằng 150? A. 2. B. 0. C. 6. D. 4.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Xét hàm số $g[x]=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{3}}+m$ trên [-3;2] có $g'[x]=12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x$
Phương trình $g'[x]=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3\le x\le 2 \\ {} 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$
Tính $\left\{ \begin{array} {} f[-1]=\left| m-5 \right|;f[0]=\left| m \right| \\ {} f[-3]=\left| m+243 \right|;f[2]=\left| m-32 \right| \\ \end{array} \right..$ Khi đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| m-32 \right|;\left| m+243 \right| \right\}$
- TH1. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m+243 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m-32 \right|\le \left| m+243 \right| \\ {} \left| m+243 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-93$
- TH2. Nếu $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| m-32 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left| m-32 \right|\ge \left| m+243 \right| \\ {} \left| m-32 \right|=150 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-118$
Vậy có tất cả 2 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Bài tập 15: Cho hàm số $f[x]=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a \right|$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;3]$ sao cho $M\le 2m$ A. 6. B. 5. C. 7. D. 3.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Xét hàm số $u[x]={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên [0;2], có $u'[x]=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$
Phương trình $u'[x]=0\Leftrightarrow x\left\{ 0;1;2 \right\}.$ Khi đó $u[0]=u[2]=a;u[1]=a+1$
Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
- TH1. Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{array} {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=0 \\ {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} M=1 \\ {} m=0 \\ \end{array} \right.$ [không TMĐK]
- TH2. Với $a>0,$ ta có $\left\{ \begin{array} {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f[x]=\left| a \right| \\ {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f[x]=\left| a+1 \right| \\ \end{array} \right.$ mà $M\le 2m\Rightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow a\ge 1$
Kết hợp với điều kiện $a\in \text{ }\!\![\!\!\text{ -3;3 }\!\!]\!\!\text{ }$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}\left\{ 1;2;3 \right\}$
- TH3. Với $a