VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Phương trình tương đương, phương trình hệ quả: Phương trình tương đương, phương trình hệ quả. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1. Cho phương trình f[x] = 0 có tập nghiệm S = {m; 2m – 1} và phương trình g[x] = 0 có tập nghiệm S. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g[x] = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f[x] = 0. Lời giải: Gọi S, S’ lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình. Ta nói phương trình g[x] = 0 là phương trình hệ quả của phương trình f[x] = 0. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình x – 1 = 0? Câu 2. Cho phương trình x = 0. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho? Hướng dẫn giải. Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Phương trình [x + 1][x – 1][x + 1] = 0 có tập nghiệm S = {-1; 1}. Câu 3. Phương trình 2x – 3 = 1 tương đương với phương trình nào dưới đây? A. [x – 3]2x – 3 = x – 3 nên phương trình này không tương đương với phương trình đã cho. Câu 4: Cho phương trình: x + x = 0 [1]. Phương trình nào tương đương với phương trình [1]? Câu 5. Phương trình nào dưới đây tương đương với phương trình x – 3x = 0? Phương trình x – 3x = 0 có tập nghiệm là S = {0; 3} nên phương trình tương đương cũng phải có tập nghiệm như vậy.
Chú ý lý thuyết: Phép biến đổi tương đương cho hai phương trình tương đương. Phép biến đổi cộng hai vế một biểu thức hoặc nhân 2 vế với một biểu thức khác 0 là phép biến đổi tương đương khi chúng không làm thay đổi điều kiện Do đó dựa và điều kiện của các phương trình ta cũng có thể chọn C Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương?
Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f[x, m] = 0 [1] và g[x, m] = 0 [2]
1. Xác định tham số để phương trình [1] là hệ quả của phương trình [2] [nói cách khác “Để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2]”], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
Bước 2: Điều kiện đủ với m = m$_0$, ta được:
2. Xác định tham số để [1] và [2] tương đương, ta lựa chọn theo hai hướng sau:
Hướng 1: Nếu [1] & [2] đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Hướng 2: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ
Kết luận.
Thí dụ 1. Cho hai phương trình: $\sqrt {x + 1} - 2 = 0$, [1] và x$^2$ - 2mx - m$^2$ - 2 = 0. [2] Tìm m để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2].Biến đổi [1] về dạng: $\sqrt {x + 1} = 2$ x + 1 = 4 x = 3. Do đó, để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2] điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của [2], tức là: 9 - 6m - m$^2$ - 2 = 0 m$^2$ + 6m - 7 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 7\end{array} \right..$ Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:
- Phương trình [1] không chứa tham số.
- Dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm của [1] và phép thử các nghiệm đó vào [2] đơn giản.
Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x$^2$ - [m + 2]x + m + 1 = 0, [1]
x$^3$ - 2x$^2$ - mx - m$^2$ + 3 = 0. [2] Tìm m để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2].Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình [1] luôn có nghiệm x = 1. Do đó, để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2] trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của [2], tức là: 1 - 2 - m - m$^2$ + 3 = 0 m$^2$ + m - 2 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right..$. Đó chính là điều kiện cần của m. Điều kiện đủ: Ta lần lượt:Với m = 1, ta được:
[1] x$^2$ - 3x + 2 = 0 x = 1 hoặc x = 2. [2] x$^3$ - 2x$^2$ - x + 2 = 0 [x - 1][x$^2$ - x - 2] = 0 x = ±1 hoặc x = 2. suy ra mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2], tức m = 1 thoả mãn.Với m = -2, ta được:
[1] x$^2$ - 1 = 0 x = ±1. [2] x$^3$ - 2x$^2$ + 2x - 1 = 0 [x - 1][x$^2$ - x + 1] = 0 x = 1. suy ra x = -1 không là nghiệm của [2], tức m = -2 không thoả mãn.Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
- Phương trình tương đương: Hai phương trình f1[x] = g1[x] và f2[x] = g2[x] được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇔ f2[x] = g2[x]
- Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
- Phương trình hệ quả: f2[x] = g2[x] gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1[x] = g1[x] nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1[x] = g1[x]
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇒ f2[x] = g2[x]
- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+ Cộng [trừ] cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân [chia] vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình [hai vế luôn cùng dấu] ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Bài 1: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}
Quảng cáo
Bài 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện [*]
Nếu x ≠ 3. thì [*]
Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3
Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}
Bài 3: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≥ -1.
Ta có x = -1 là một nghiệm.
Nếu x > -1 thì √[x+1] > 0. Do đó phương trình tương đương
x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}
b. ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với phương trình
x2 = 1 - [x - 2]⇔ x2 + x - 3 = 0
Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm
Quảng cáo
Bài 4: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≠ 1.
Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b. ĐKXĐ :
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3
Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
x2 + mx - 1 = 0 [1] và [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0 [2]
Hướng dẫn:
Giả sử hai phương trình [1] và [2] tương đương
Ta có [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0
⇔
Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình [1]
Thay x = -1 vào phương trình [1] ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp