Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với tanx và cotx.
I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: $a\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + b[\tan x + \cot x] + c = 0$ $[1].$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$Bước 2: Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$
Khi đó phương trình có dạng: $a\left[ {{t^2} – 2} \right] + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c – 2a = 0$ $[2].$Bước 3: Giải phương trình $[2]$ theo $t$ và chọn nghiệm ${t_0}$ thoả mãn điều kiện $|t| \ge 2.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có: $\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x – {t_0}\tan x + 1 = 0.$ Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{1}{{2{t_0}}}.$Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
$[\tan x + 7]\tan x$ $ + [\cot x + 7]\cot x + 14 = 0.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + 7[\tan x + \cot x] + 14 = 0.$ Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$ Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} – 2 + 7t + 14 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^2} + 7t + 12 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 3}\\ {t = – 4} \end{array}} \right..$ + Với $t=-3$ ta được: $\tan x + \cot x = – 3$ $ \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = – 3$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x = \frac{{ – 3 – \sqrt 5 }}{2} = \tan \alpha }\\ {\tan x = \frac{{ – 3 + \sqrt 5 }}{2} = \tan \beta } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + k\pi }\\ {x = \beta + k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ + Với $t = – 4$ ta được: $\tan x + \cot x = – 4$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = – 4$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = – 4.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x = – \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\ {2x = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\ {x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.
Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$ các em hãy lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp.
Ví dụ 2: Cho phương trình: ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x$ $ + m[\tan x + \cot x] + 2m = 0$ $[1].$ a. Giải phương trình với $m = – \frac{1}{2}.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Đặt $\tan x + \cot x = t$ với $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$ Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} – 2 + mt + 2m = 0$ $ \Leftrightarrow f[t] = {t^2} + mt + 2m – 2 = 0$ $[2].$ a. Với $m = – \frac{1}{2}$ ta được: ${t^2} – \frac{1}{2}t – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 2}\\ {t = – 3/2\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2.$ $ \Leftrightarrow \tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$ Vậy với $m = – \frac{1}{2}$ phương trình có một họ nghiệm. b. Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Phương trình $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ phương trình $[2]$ có nghiệm $|t| \ge 2.$
Cách 2: Vì $t = – 2$ không phải là nghiệm của phương trình, nên viết lại $[2]$ dưới dạng:
$\frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}} = m.$ Vậy phương trình $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = \frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $[ – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ].$ Xét hàm số $y = \frac{{ – {t^2} + 2}}{{t + 2}}$ trên $[-\infty,-2] \cup[2,+\infty]$ Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – {t^2} – 4t – 2}}{{{{[t + 2]}^2}}}.$ $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow – {t^2} – 4t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow t = – 2 \pm \sqrt 2 .$Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: $m \le – \frac{1}{2}$ hoặc $m \ge 4 + 2\sqrt 2 .$
Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$
Ví dụ 3: Cho phương trình: $2\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x$ $ + 2\cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = m$ $[1].$ a. Giải phương trình với $m = 8.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra: ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$ ${\tan ^3}x + {\cot ^3}x$ $ = {[\tan x + \cot x]^3}$ $ – 3\tan x\cot x[\tan x + \cot x]$ $ = {t^3} – 3t.$ Khi đó phương trình có dạng: $2t + {t^2} – 2 + {t^3} – 3t = m$ $ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} – t – 2 = m$ $[2].$ a. Với $m = 8$ ta được: ${t^3} + {t^2} – t – 10 = 0$ $ \Leftrightarrow [t – 2]\left[ {{t^2} + 3t + 5} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2$ $ \Leftrightarrow \tan x + \cot x = 2.$ $ \Leftrightarrow \tan x = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi $, $k \in Z.$ Vậy với $m = 10$ phương trình có một họ nghiệm. b. Phương trình $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $[-\infty,-2] \cup[2,+\infty]$ Xét hàm số $y = {t^3} + {t^2} – t – 2$ trên $D = [ – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ].$ Đạo hàm: $y’ = 3{t^2} + 2t – 1 > 0$, $\forall t \in D$ $ \Leftrightarrow $ hàm số đồng biến trên $D.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta được điều kiện là $m \le – 4$ hoặc $m \ge 8.$
Bài toán 2: Giải phương trình: $a\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + b[\tan x – \cot x] + c = 0$ $[1].$
PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$Bước 2: Đặt $\tan x – \cot x = t$ $ \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$
Khi đó phương trình có dạng: $a\left[ {{t^2} + 2} \right] + bt + c = 0$ $ \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0$ $[2].$Bước 3: Giải phương trình $[2]$ theo $t.$
Bước 4: Với $t = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \tan x – \cot x = {t_0}$, khi đó ta có thể lựa chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
+ Hướng 1: Ta có: $\tan x – \frac{1}{{\tan x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x – {t_0}\tan x – 1 = 0.$ Đây là phương trình bậc hai theo $\tan x.$
+ Hướng 2: Ta có:
$\frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$Đây là phương trình cơ bản của cotan.
Chú ý: Cũng có thể lựa chọn phép đổi biến $t = \tan x$, tuy nhiên khi đó ta sẽ thu được một phương trình bậc cao.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
$\sqrt 3 \left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + 2[\sqrt 3 – 1][\tan x – \cot x]$ $ – 4 – 2\sqrt 3 = 0.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Đặt $\tan x – \cot x = t$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$ Khi đó phương trình có dạng: $\sqrt 3 \left[ {{t^2} + 2} \right] + 2[\sqrt 3 – 1]t – 4 – 2\sqrt 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt 3 {t^2} + 2[\sqrt 3 – 1]t – 4 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 2}\\ {t = 2/\sqrt 3 } \end{array}} \right..$ + Với $t = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ ta được: $\tan x – \cot x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow 2x = – \frac{\pi }{3} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ + Với $t =-2$ ta được: $\tan x – \cot x = – 2$ $ \Leftrightarrow \tan x – \frac{1}{{\tan x}} = – 2$ $ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x – 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x = – 1 – \sqrt 2 = \tan \alpha }\\ {\tan x = – 1 + \sqrt 2 = \tan \beta } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + k\pi }\\ {x = \beta + k\pi } \end{array}} \right.$, $k \in Z.$
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Qua việc lựa chọn hai phương pháp giải để tìm ra nghiệm $x$ khi biết ${t_0}$, lời khuyên dành cho các em học sinh là hãy lựa chọn hướng 2 để giải, bởi ngay với $t=-2$, ta được: $\tan x – \cot x = – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} – \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = – 2$ $ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = – 2.$
$ \Leftrightarrow \cot 2x = 1$ $ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$
Chú ý: Phương pháp được mở rộng tự nhiên cho các phương trình đối xứng bậc cao hơn $2.$
Ví dụ 5: Cho phương trình: ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ – 3\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ – 3[\tan x – \cot x]$ $ + m + 6 = 0$ $[1].$ a. Giải phương trình với $m = 4.$
b. Biện luận theo $m$ số nghiệm thuộc $\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ của phương trình.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Đặt $\tan x – \cot x = t.$ Suy ra: ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$ ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ = {[\tan x – \cot x]^3}$ $ + 3\tan x\cot x[\tan x – \cot x]$ $ = {t^3} + 3t.$ Khi đó phương trình có dạng: ${t^3} + 3t – 3\left[ {{t^2} + 2} \right] – 3t + m + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + m = 0$ $[2].$ a. Với $m = 4$ ta được: ${t^3} – 3{t^2} + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow [t + 1]\left[ {{t^2} – 4t + 4} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow [t + 1]{[t – 2]^2} = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 1}\\ {t = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x – \cot x = – 1}\\ {\tan x – \cot x = 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cot 2x = \frac{1}{2} = \cot 2\alpha }\\ {\cot 2x = – 1} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x = 2\alpha + k\pi }\\ {2x = – \frac{\pi }{4} + k\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha + \frac{{k\pi }}{2}}\\ {x = – \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy với $m = 4$ phương trình có hai họ nghiệm. b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $[2]$ ta được: $\tan x – \cot x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$ Mặt khác vì $x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow 2x \in [0,\pi ].$ Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $[2]$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ của $[1].$ Số nghiệm của $[2]$ bằng số giao điểm của đường thẳng $y = -m$ với đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$ Xét hàm số $y = {t^3} – 3{t^2}.$ Đạo hàm: $y’ = 3{t^2} – 6t.$ $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = 2.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có kết luận [bạn đọc tự đưa ra lời kết luận].
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Cho phương trình:
$\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x$ $ + m[\tan x + \cot x] – 1 = 0$ $[1].$
Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Biến đổi phương trình về dạng: $3\left[ {1 + {{\cot }^2}x} \right] + 3{\tan ^2}x$ $ + m[\tan x + \cot x] – 1 = 0.$ $ \Leftrightarrow 3\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + m[\tan x + \cot x] + 2 = 0.$ Đặt $\tan x + \cot x = t$, điều kiện $|t| \ge 2$, suy ra ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} – 2.$ Khi đó phương trình có dạng: $3\left[ {{t^2} – 2} \right] + mt + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow f[t] = 3{t^2} + mt – 4 = 0$ $[2].$ Để tìm $m$ sao cho phương trình có nghiệm ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược: “Tìm $m$ để phương trình vô nghiệm”.
Phương trình $[1]$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} [2]{\rm{\:vô\:nghiệm\:}}\\ [2]{\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – 2,2} \right] \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta \ge 0}\\ {af[2] > 0}\\ {af[ – 2] > 0}\\ { – 2 < S/2 < 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 4 < m < 4.$ Vậy phương trình có nghiệm khi $m \in R\backslash [ – 4,4].$Cách 2: Viết lại $[2]$ dưới dạng:
$\frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t} = m.$ Vậy phương trình $[1]$ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ cắt phần đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = [ – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ].$ Xét hàm số $y = \frac{{ – 3{t^2} + 4}}{t}$ trên $D = [ – \infty , – 2] \cup [2, + \infty ].$ Đạo hàm: $y’ = \frac{{ – 3{t^2} – 4}}{{{t^2}}} < 0$, $\forall t \in D.$ Do đó hàm số nghịch biến trên $D.$ Từ đó ta được điều kiện là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m \le y[2]}\\ {m \ge y[ – 2]} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m \le – 4}\\ {m \ge 4} \end{array}} \right..$Vậy phương trình có nghiệm khi $|m| \ge 4.$
Bài 2: Cho phương trình: ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ – 3\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ – 12[\tan x – \cot x]$ $ + m + 6 = 0$ $[1].$ a. Giải phương trình với $m = 2.$ b. Tìm $m$ để $[1]$ có $3$ nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3} \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ và thoả mãn:
$\frac{{\sin 2\left[ {{x_1} – {x_2}} \right]}}{{\sin 2{x_1}}} – \frac{{\sin 2\left[ {{x_2} – {x_3}} \right]}}{{\sin 2{x_3}}} = 0.$
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x \ne 0}\\ {\cos x \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}$, $k \in Z.$ Đặt $\tan x – \cot x = t$. Suy ra: ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2.$ ${\tan ^3}x – {\cot ^3}x$ $ = {[\tan x – \cot x]^3}$ $ + 3\tan x\cot x[\tan x – \cot x]$ $ = {t^3} + 3t.$ Khi đó phương trình có dạng: ${t^3} + 3t – 3\left[ {{t^2} + 2} \right]$ $ – 12t + m + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} – 9t + m = 0$ $[2].$ a. Với $m = 2$ ta được: ${t^3} – 3{t^2} – 9t + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow [t + 2]\left[ {{t^2} – 5t + 1} \right] = 0.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}}\\ {t = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\tan x – \cot x = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}}\\ {\tan x – \cot x = – 2} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cot 2x = – \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2} = \cot 2{\alpha _{1,2}}}\\ {\cot 2x = 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = {\alpha _{1,2}} + \frac{{k\pi }}{2}}\\ {x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}} \end{array}} \right.$, $k \in Z.$ Vậy với $m = 2$ phương trình có ba họ nghiệm. b. Với mỗi nghiệm ${t_0}$ của phương trình $[2]$ ta được: $\tan x – \cot x = {t_0}$ $ \Leftrightarrow \cot 2x = – \frac{{{t_0}}}{2}.$ Mặt khác vì $x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ $ \Leftrightarrow 2x \in [0,\pi ].$ Do đó với mỗi nghiệm ${t_0}$ của $[2]$ ta có được $1$ nghiệm ${x_0} \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ của $[1].$ Từ biểu thức điều kiện, ta được: $\frac{{\sin 2\left[ {{x_1} – {x_2}} \right]}}{{\sin 2{x_1}}} = \frac{{\sin 2\left[ {{x_2} – {x_3}} \right]}}{{\sin 2{x_3}}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2\left[ {{x_1} – {x_2}} \right]}}{{\sin 2{x_1}\sin 2{x_2}}} = \frac{{\sin 2\left[ {{x_2} – {x_3}} \right]}}{{\sin 2{x_2}\sin 2{x_3}}}.$ $ \Leftrightarrow \cot 2{x_1} – \cot 2{x_2}$ $ = \cot 2{x_2} – \cot 2{x_3}$ $ \Leftrightarrow \cot 2{x_1} + \cot 2{x_3} = 2\cot 2{x_2}.$ $ \Leftrightarrow – \frac{{{t_1}}}{2} – \frac{{{t_3}}}{2} = – 2\frac{{{t_2}}}{2}$ $ \Leftrightarrow {t_1} + {t_3} = 2{t_2}.$ $ \Leftrightarrow [2]$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Để phương trình có ba nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng thì điểm uốn $U[1, – 11]$ của đồ thị hàm số $y = {t^3} – 3{t^2} – 9t$ thuộc đường thẳng $y =-m.$ $ \Leftrightarrow – m = – 11$ $ \Leftrightarrow m = 11.$ Thử lại: với $m = 11$ phương trình $[2]$ có dạng: ${t^3} – 3{t^2} – 9t + 11 = 0$ $ \Leftrightarrow [t – 1]\left[ {{t^2} – 2t – 11} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{t_1} = 1 – 2\sqrt 3 }\\ {{t_2} = 1}\\ {{t_3} = 1 + 2\sqrt 3 } \end{array}} \right.$ [thoả mãn].
Vậy với $m = 11$ thoả mãn điều kiện đầu bài.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình:
a. $\cot x – \tan x = \sin x – \cos x.$
b. $\tan x + {\tan ^2}x + \cot x + {\cot ^2}x = 6.$
Bài tập 2. Cho phương trình: $3\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ + 4[\tan x + \cot x] + m = 0.$ a. [CĐHQ – 2000]: Giải phương trình với $m = 2.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 3. Cho phương trình: $\tan x + {\tan ^2}x + {\tan ^3}x$ $ + \cot x + {\cot ^2}x + {\cot ^3}x = m.$ a. Giải phương trình với $m = 6.$
b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 4. Cho phương trình: $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {\cot ^2}x$ $ + m[\tan x + \cot x] + 2 = 0.$ a. Giải phương trình khi $m = \frac{5}{2}.$
b. Xác định $m$ để phương trình có nghiệm.
Bài tập 5. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình sau đây có nghiệm:
$\frac{3}{{{{\sin }^2}x}} + {\tan ^3}x$ $ + m[\tan x + \cot x] – 1 = 0.$
Bài tập 6. Giải và biện luận phương trình:
$[m – 2]\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]$ $ – 2m[\tan x – \cot x] – m + 5 = 0.$
- Kiến thức Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác