Bài 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau và nhỏ hơn hoặc bằng 572?
Bài 2. Từ các chữ số tự nhiên có thể lập được bao nhiêu số:
a. Gồm sáu chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 5.
b. Gồm bốn chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 0,1.
c. Gồm sáu chữ số khác nhau trong đó chữ số 3 có mặt ba lần còn các chữ số khác có mặt nhiều nhất một lần.
+] Gọi \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \] là số có ba chữ số khác nhau được lập từ tập các chữ số trên.
Ta có: \[{a_1} \ne 0 \Rightarrow {a_1}\] có 3 cách chọn.
\[{a_2},\;{a_3}\] có \[A_3^2 = 6\] các chọn.
\[ \Rightarrow \] có \[3.6 = 18\] số được chọn.
+] Tính tổng các số lập được:
Ta thấy số 1 có thể xuất hiện ở hàng trăm 6 lần: \[102;\;103;\;120;\;130;\;123;\;132.\]
Số 1 có thể xuất hiện ở hàng chục 4 lần: \[210;\;310;\;213;\;\;312.\]
Số 1 có thể xuất hiện ở hàng đơn vị 4 lần: \[201;\;301;\;231;\;321.\]
Tương tự đối với các số \[2\] và \[3.\] Số \[0\] không ảnh hưởng đến tổng cần tính.
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overline {{a_1}{a_2}{a_3}} = 100{a_1} + 10{a_2} + {a_3}\\ = 6.100\left[ {1 + 2 + 3} \right] + 4.10\left[ {0 + 1 + 2 + 3} \right] + 4.\left[ {0 + 1 + 2 + 3} \right]\\ = 3600 + 240 + 24 = 3864.\end{array}\]
a] Có bao nhiêu số có ba chữ số, các chữ số trong mỗi số đều khác nhau, được thành lập từ các chữ số trên ?
b] Trong các số được thành lập có bao nhiêu số nhỏ hơn 400 ? bao nhiêu số là số lẻ ? bao nhiêu số chia hết cho 5 ?
Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta cần thực hiện 2 công đoạn: chọn chữ số hàng trăm và chọn 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
+ Chọn chữ số hàng trăm từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, chữ số này phải khác 0, nên có 4 cách chọn.
+ Chọn 2 chữ số tiếp theo từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, hai chữ số này khác nhau và khác chữ số hàng trăm, nên số cách chọn chính là số chỉnh hợp chập 2 của 4. Do đó có \[A_4^2 = 12\] cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, có 4 . 12 = 48 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
Cách 2:
Mỗi cách lập một bộ gồm 3 chữ số từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên số cách lập bộ số là \[A_5^3\] = 60 [cách].
Tuy nhiên, số tự nhiên có 3 chữ số thì chữ số hàng trăm phải khác 0.
Ta lập các số có dạng \[\overline {0ab} \] , thì số cách lập là: \[A_4^2 = 12\] [cách].
Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, lập được từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là: 60 – 12 = 48 [số].
a] Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \[\overline {abc} \], với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3} [a ≠ 0, a ≠ b ≠ c].
Để lập số tự nhiên có ba chữ số khác nhau trên, ta cần thực hiện liên tiếp 3 công đoạn:
+ Chọn số a: có 3 cách chọn, do a ≠ 0, chọn 1, hoặc 2 hoặc 3.
+ Chọn b có: 3 cách chọn từ tập A\{a}, do b ≠ a.
+ Chọn c có: 2 cách từ tập A\{a; b}, do c ≠ b ≠ a.
Vậy theo quy tắc nhân, số các số thỏa mãn bài toán là: 3 . 3 . 2 = 18 [số].
b] Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: \[\overline {abc} \], với a, b, c thuộc tập hợp số A = {0; 1; 2; 3}, [a ≠ 0, a ≠ b ≠ c].
Để \[\overline {abc} \] là số chẵn thì c ∈ {0; 2}.
+ Trường hợp 1: c = 0.
Chọn a có 3 cách [do a ≠ 0 nên chọn 1, hoặc 2, hoặc 3], chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} [do a ≠ b ≠ c]
Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 3 . 2 = 6 [số].
+ Trường hợp 2: c = 2.
Chọn a có 2 cách chọn [do a ≠ 0 và a ≠ c nên chọn 1 hoặc chọn 3].
Chọn b có 2 cách chọn từ tập A\{a; c} [do a ≠ b ≠ c].
Do đó, số các số lập được ở trường hợp này là: 2 . 2 = 4 [số].
Vì các trường hợp rời nhau nên theo quy tắc cộng, số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau lập được là: 6 + 4 = 10 [số].