Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh là $A\left[ {1,1,1} \right],{\rm{ }}B\left[ {1,2,1} \right],{\rm{ }}C\left[ {1,1,2} \right]$ và $D\left[ {2,2,1} \right]$. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là
Mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD là mặt cầu đi qua 4 điểm hay 4 đỉnh A, B, C và D. Do đó để tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu...
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4].a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Viết phương thơm trình khía cạnh cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D .
Bạn đang xem: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm
Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4].a] Chứng tỏ rằng tư điểm A, B, C, D ko đồng phẳng.b] Viết phương thơm trình phương diện cầu [S] trải qua tư điểm A, B, C, D .
Xem thêm: Cách Chọn Gà Chọi Đá Hay - Cách Chọn Gà Chọi Hay Qua 7 Bước Xem Tướng
Xác định vai trung phong với nửa đường kính của khía cạnh cầu kia.c] Viết phương thơm trình mặt phẳng đi qua A, B, C cùng kiếm tìm khoảng cách từu điểm D cho tới phương diện phẳng kia.d] Viết phương trình phương diện phẳng vuông góc với CD cùng tiếp xúc cùng với khía cạnh cầu [S].e] Tìm bán kính các đường tròn giao đường của phương diện cầu [S] và những phương diện phẳng tọa độ.a] Ta có:
[eqalign & overrightarrow AB = left[ 3, – 3, – 8 ight],overrightarrow AC = left[ 4,0, – 4 ight]. cr & overrightarrow AD = left[ 0, – 3,1 ight] cr và Rightarrow left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left[ 12, – trăng tròn,12 ight],left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight>.overrightarrow AD = 72 e 0. cr ]
Vậy tứ điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Giả sử phương diện cầu [S] bao gồm pmùi hương trình: [x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz = 0].Vì [A,B,C,D in left[ S ight]] đề nghị ta tất cả hệ pmùi hương trình:
[left{ matrix 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 hfill cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 hfill cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 hfill cr ight. Rightarrow left{ matrix 3a – 3b – 8c = 5 hfill cr a – c = 2 hfill cr – 3b + c = – 7 hfill cr ight. Rightarrow left{ matrix a = 1 hfill cr b = 2 hfill cr c = – 1 hfill cr d = – 19 hfill cr ight.]Quảng cáo
Vậy [left[ S ight]:x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.]Mặt cầu [S] gồm trung ương [Ileft[ 1,2, – 1 ight]] cùng bán kính [R = sqrt 1 + 4 + 1 + 19 = 5.]c] Mp[ABC] tất cả vectơ pháp tuyến [overrightarrow n = left< overrightarrow AB ,overrightarrow AC ight> = left[ 12, – đôi mươi,12 ight] = 4left[ 3, – 5,3 ight].]Mp[ABC] đi qua [Aleft[ 1,5,3 ight]] đề nghị gồm phương thơm trình:
[3left[ x – 1 ight] – 5left[ y – 5 ight] + 3left[ z – 3 ight]0 Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.]
Khoảng phương pháp từ D cho mp[ABC] là: [h = over sqrt 3^2 + 5^2 + 3^2 = 18 over sqrt 43 ].d] Mặt phẳng [left[ alpha ight]] vuông góc với CD tất cả vectơ pháp con đường là [overrightarrow CD = left[ – 4, – 3,5 ight]] cần tất cả pmùi hương trình:[ – 4x – 3y + 5z + d = 0.]Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu [S] lúc còn chỉ khi khoảng cách từ chổ chính giữa [Ileft[ 1,2, – 1 ight]] của khía cạnh cầu[S] tới phương diện phẳng [left[ alpha ight]] bằng 5, tức là:
[left over sqrt 16 + 9 + 25 = 5 Leftrightarrow – 15 + d ight over sqrt 50 = 5 Leftrightarrow d = 15 pm 25sqrt 2 .]
Vậy [left[ altrộn ight]: – 4x – 2y + 5z + 15 pm 25sqrt 2 = 0.]
e] Mặt cầu [S] bao gồm chổ chính giữa [Ileft[ 1,2, – 1 ight]], mp[Oxy] bao gồm pmùi hương trình là z = 0. Khoảng bí quyết trường đoản cú điểm I cho mp[Oxy] là [d_1 = left| – 1 ight| = 1
Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4]. a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. c] Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó. d] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu [S].
e] Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu [S] và các mặt phẳ. Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận
Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A[1; 5; 3], B[4; 2; -5], C[5; 5; -1] và D[1; 2; 4].a] Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.c] Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.d] Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu [S].
e] Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu [S] và các mặt phẳng tọa độ.
a] Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left[ {3, – 3, – 8} \right],\overrightarrow {AC} = \left[ {4,0, – 4} \right]. \cr & \overrightarrow {AD} = \left[ {0, – 3,1} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12, – 20,12} \right],\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \]
Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b] Giả sử mặt cầu [S] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\].
Vì \[A,B,C,D \in \left[ S \right]\] nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{ 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 \hfill \cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3a – 3b – 8c = 5 \hfill \cr a – c = 2 \hfill \cr – 3b + c = – 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = – 1 \hfill \cr
d = – 19 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[\left[ S \right]:{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.\]Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\] và bán kính \[R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19} = 5.\]c] Mp[ABC] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {12, – 20,12} \right] = 4\left[ {3, – 5,3} \right].\]
Mp[ABC] đi qua \[A\left[ {1,5,3} \right]\] nên có phương trình:
\[3\left[ {x – 1} \right] – 5\left[ {y – 5} \right] + 3\left[ {z – 3} \right]0 \Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.\]
Quảng cáoKhoảng cách từ D đến mp[ABC] là: \[h = {{\left| {3.1 – 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\].d] Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {CD} = \left[ { – 4, – 3,5} \right]\] nên có phương trình:\[ – 4x – 3y + 5z + d = 0.\]
Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu [S] khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\] của mặt cầu[S] tới mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] bằng 5, tức là:
\[{{\left| { – 4.1 – 3.2 – 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { – 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\]
Vậy \[\left[ \alpha \right]: – 4x – 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2 = 0.\]
e] Mặt cầu [S] có tâm \[I\left[ {1,2, – 1} \right]\], mp[Oxy] có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp[Oxy] là \[{d_1} = \left| { – 1} \right| = 1 < R\] nên [S] cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \[{r_1} = \sqrt {{R^2} – d_1^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oyz] có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oyz] là \[{d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\] nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_2} = \sqrt {{R^2} – d_2^2} = \sqrt {25 – 1} = 2\sqrt 6 .\]
Tương tự mp[Oxz] có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp[Oxz] là \[{d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\] nên [S] cắt mp[Oyz] theo đường tròn có bán kính là \[{r_3} = \sqrt {{R^2} – d_3^2} = \sqrt {25 – 4} = \sqrt {21} .\]