BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
A. Lí thuyết cơ bản
1. Biến cố
a] Phép thử và không gian mẫu
-
- Phép thử ngẫu nhiên [gọi tắt là phép thử ] là một thí nghiệm hay một hành động mà :
+ Kết quả của nó không đoán trước được.
+ Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.
- - Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là. Số phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là
- b] Biến cố
- - Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
- - Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
- - Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là.
2. Xác suất
- - Tổng quát : Giả sử phép thử T có không gian mẫulà một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T vàlà một tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số , kí hiệu là, được xác định bởi công thức :
sốphầnthửcủaAsốphầntửcủaΩ
- Từ định nghĩa, suy ra:
3. Các quy tắc tính xác suất
a] Quy tắc cộng xác suất:
-
Biến cố hợp:
Cho hai biến cốvà. Biến cố hoặcxảy ra, kí hiệu làđược gọi là hợp của hai biến cốvà. Khi đó.
-
Biến cố xung khắc:
Cho hai biến cốvà. Hai biến cốvàđược gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Khi đó.
-
Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc:
-
- Nếuvàlà hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cốlà
- Chobiến cốđôi một xung khắc với nhau. Khi đó
-
Biến cố đối:
Cholà một biến cố. Khi đó biến cố không, kí hiệu làđược gọi là biến cố đối của. Ta nóivàlà hai biến cố đối của nhau.
Khi đó: .
b] Quy tắc nhân xác suất:
-
Biến cố giao:
-
Cho hai biến cốvà. Biến cố vàcùng xảy ra, kí hiệu là[hay], gọi là giao của hai biến cốvà.
-
Hai biến cố độc lập:
- + Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy ra của biến cố kia.
- + Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và,và B,vàcũng là độc lập.
-
Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập:
- + Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì ta luôn có
-
+ Cho n biến cốđộc lập với nhau từng đôi một. khi đó :
hay
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định không gian mẫu và biến cố
A. Phương pháp
Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau
Cách 1:Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.
Cách 2:Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần.
a]Xác định số phần tử của không gian mẫu
A.36. B.40. C.38. D.35.
b]Tính số phần tử của các biến cố sau:
A: số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau
A. B. C. D.
B: Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung chia hết cho 3
A. B. C. D.
C: Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai.
A. B. C. D.
Lời giải:
a]Không gian mẫu gồm các bộ, trong đó
nhận 6 giá trị,cũng nhận 6 giá trị nên cóbộ
Vậyvà.
b]Ta có:,
Xét các cặpvớimà
Ta có các cặp có tổng chia hết cho 3 là
Hơn nữa mỗi cặp [trừ cặp [3,3]] khi hoán vị ta được một cặp thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy.
Số các cặplà
.
Vậy.
Ví dụ 2:Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác định và tính số phần tử của
1.Không gian mẫu
A.B.C.D.
2.Các biến cố:
A: Lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa
A.B.C.D.
B: Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
A.B.C.D.
C: Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa
A.B.C.D.
Lời giải:
1.Kết quả của 5 lần gieo là dãyvớinhận một trong hai giá trị N hoặc S. Do đó số phần tử của không gian mẫu:.
2.Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp nênchỉ nhận giá trị S;nhận S hoặc N nên.
Kết quả 5 lần gieo mà không có lần nào xuất hiện mặt sấp là 1
Vậy.
Kết quả của 5 lần gieo mà mặt N xuất hiện đúng một lần:
Kết quả của 5 lần gieo mà mặt N xuất hiện đúng hai lần:
Số kết quả của 5 lần gieo mà số lần mặt S xuất hiện nhiều hơn số lần mặt N là:.
Ví dụ 3:Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:
1.Không gian mẫu
A.10626B.14241C.14284D.31311
2.Các biến cố:
A: 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng
A.B.C.D.
B: 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ
A.B.C.D.
C: 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu
A.B.C.D.
Lời giải:
1.Ta có:
2.Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là:
Suy ra:.
Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là:
Suy ra :.
Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:
Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:
Suy ra.
Ví dụ 4:Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọilà các biến cố xạ thủ bắn trúng lần thứ với. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố
A: Lần thứ tư mới bắn trúng bia
A.B.
C.D.
B: Bắn trúng bia ít nhất một lần
A.B.
C.D.
C: Chỉ bắn trúng bia hai lần
A.,và đôi một khác nhau.
B.,và đôi một khác nhau.
C.,và đôi một khác nhau.
D.,và đôi một khác nhau.
Lời giải:
Ta có:là biến cố lần thứ[] bắn không trúng bia.
Do đó:
vớivà đôi một khác nhau.
Dạng 2. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
A. Phương pháp
Tính xác xuất theo thống kê ta sử dụng công thức:P[A]-SốlầnxuấthiệncủabiếncốAN
Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức :.
B. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1.Bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:
A: Rút ra được tứ quý K
A. B.
C. D.
B: 4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át
A. B.
C. D.
C: 4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích
A. B.
C. D.
Lời giải:
Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là:
Suy ra
Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có
Vậy.
Vì cócách rút 4 quân bài mà không có con Át nào,
suy ra.
Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn 2 là:
Suy ra.
Ví dụ 2.Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:
1.3 viên bi lấy ra đều màu đỏ
A. B.
C. D.
2.3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.
A. B.
C. D.
Lời giải:
Gọi biến cố A : 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ
B : 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu
Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là:nên ta có:
1.Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là:nên
Do đó:.
2.Ta có:
Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu:
Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu
Đỏ và xanh:
Đỏ và vàng:
Vàng và xanh:
Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:
Do đó:. Vậy.
Ví dụ 3.Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80
1.Tính xác suất của biến cố A : trong 3 số đó có và chỉ có 2 số là bội số của 5
A. B. C. D.
2.Tính xác suất của biến cố B : trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương
A. B. C. D.
Lời giải:
Số cách chọn 3 số từ 80 số là:
1. Từ 1 đến 80 cósố chia hết cho 5 và cósố không chia hết cho 5.
Do đó:.
2. Từ 1 đến 80 có 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64.
Số cách chọn 3 số không có số chính phương nào được chọn là:
Suy ra.
Dạng 3. Các quy tắc tính xác suất
A. Phương pháp
1. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì
Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Chobiến cốđôi một xung khắc. Khi đó:
.
Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:
.
2. Quy tắc nhân xác suất
Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra [hay không xảy ra] của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi.
B. Bài tập ví dụ
Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng
Phương pháp:Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.
với A và B là hai biến cố xung khắc
.
Ví dụ 3.1.1:Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọilà biến cố xuất hiện mặtchấm
Ta có
Do
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra
Vì cá biến cốxung khắc nên:
.
Ví dụ 3.1.2:Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố
A: Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần
A. B. C. D.
B: Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần
A. B. C. D.
Lời giải:
1.Gọilà biến cố mặt 4 chấm xuất hiện lần thứ với.
Khi đó:là biến cố Mặt 4 chấm không xuất hiện lần thứ
Và
Ta có:là biến cố: không có mặt 4 chấm xuất hiện trong 4 lần gieo
Và. Vì cácđộc lập với nhau nên ta có
Vậy.
2.Gọilà biến cố mặt 3 chấm xuất hiện lần thứ với
Khi đó:là biến cố Mặt 3 chấm không xuất hiện lần thứ
Ta có:
Suy ra
Mà.
Do đó:.
Ví dụ 3.1.3:Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi:
1.Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu
A. B. C. D.
2.Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu
A. B. C. D.
Lời giải:
1.Gọi A là biến cố Chọn được 2 viên bi xanh; B là biến cố Chọn được 2 viên bi đỏ, C là biến cố Chọn được 2 viên bi vàng và X là biến cố Chọn được 2 viên bi cùng màu.
Ta cóvà các biến cốđôi một xung khắc.
Do đó, ta có:.
Mà:
Vậy.
2.Biến cố Chọn được 2 viên bi khác màu chính là biến cố.
Vậy.
Bài toán 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân
Phương pháp:
Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:
Chứng tỏvàđộc lập
Áp dụng công thức:
Ví dụ 3.2.1:Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai
A.B.C.D.
Lời giải:
Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ralà xác suất 3 lần sinh toàn con gái.
Gọilà biến cố lần thứ i sinh con gái []
Suy ra
Ta có:
.
Ví dụ 3.2.2:Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7.Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn
A.B.C.D.
Lời giải:
Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn
X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn
Ta có:
.
Ví dụ 3.2.3:Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn An làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Hỏi Anh có khả năng được bao nhiêu điểm?
A. B. C. D.
Lời giải:
An làm đúng 12 câu nên có số điểm là
Xác suất đánh hú họa đúng của mỗi câu là, do đó xác suất để An đánh đúng 8 câu còn lại là:
Vì 8 câu đúng sẽ có số điểm
Nên số điểm có thể của An là:.
Ví dụ 3.2.4:Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng,4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất biến cố :
A: 2 viên bi cùng màu.
A. B. C. D.
Lời giải:
Ta có:
Gọi các biến cố: D: lấy được 2 bi viên đỏ ta có:;
X: lấy được 2 bi viên xanh ta có:;
V: lấy được 2 bi viên vàng ta có:;
T: lấy được 2 bi màu trắng ta có:.
Ta cólà các biến cố đôi một xung khắc và
.
Ví dụ 3.2.5:Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai [ Sinh được con trai rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được thì sẽ sinh nữa ]. Xác suất sinh được con trai trong một lần sinh là. Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2.
A. B. C. D.
Lời giải:
Gọi A là biến cố : Sinh con gái ở lần thứ nhất, ta có:
.
Gọi B là biến cố: Sinh con trai ở lần thứ hai, ta có:
Gọi C là biến cố: Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai
Ta có:, màđộc lập nên ta có:
.