1. Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc \[O\], đôi một vuông góc với nhau \[x'Ox ; y'Oy ; z'Oz\]. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \[Oxyz\]; \[O\] là gốc tọa tọa độ. Giả sử\[\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\]lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \[x'Ox, y'Oy, z'Oz\] [h. 52]
Với điểm \[M\] thuộc không gian \[Oxyz\] thì tồn tại duy nhất bộ số \[[x ; y ; z]\] để
\[\overrightarrow{OM}= x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}\],
bộ \[[x ; y ; z]\] được gọi là tọa độ của điểm \[M[x ; y ; z]\].
Trong không gian Oxyz cho vectơ\[\overrightarrow{a}\], khi đó\[\overrightarrow{a}= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}\]
Ta viết\[\overrightarrow{a}\]\[[{a_1};{a_2};{a_3}]\]và nói\[\overrightarrow{a}\]có tọa độ\[[{a_1};{a_2};{a_3}]\].
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Giả sử\[\overrightarrow{a}\]=\[[{a_1};{a_2};{a_3}]\]và\[\overrightarrow{b}\]= \[[{b_1};{b_2};{b_3}]\], thì:
\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\]\[= [{a_{1\;}} + {b_1};{a_2}\; + {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} + {b_3}\;].\]
\[\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\]\[ = [{a_{1\;}} - {b_1};{a_2}\; - {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} - {b_3}\;].\]
\[k.\overrightarrow{a}\]\[ = [k{a_1};k{a_2};k{a_3}].\]
3. Tích vô hướng.
Cho\[\overrightarrow{a}\]\[[{a_1};{a_2};{a_3}]\]và\[\overrightarrow{b}\] \[[{b_1};{b_2};{b_3}]\]thì tích vô hướng \[\overrightarrow{a}\].\[\overrightarrow{b}\]\[ = \;{a_1}.{b_1}\; + {\rm{ }}{a_2}.{b_2}\; + {\rm{ }}{a_3}.{b_3}\]
Ta có:\[|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\]
Đặt\[\varphi =\left [\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right ]\], 0 \[\varphi\]1800 thì\[cos\varphi =\dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\] [với\[\overrightarrow{a}\]\[\overrightarrow{0}\],\[\overrightarrow{b}\]\[\overrightarrow{0}\]]
4. Phương trình mặt cầu.
Trong không gian \[Oxyz\], mặt cầu \[[S]\] tâm \[I[a ; b ; c]\] bán kính \[R\] có phương trình chính tắc\[{\left[ {x - a} \right]^{2\;}} + {\left[ {y-b} \right]^2} + {\left[ {z-c} \right]^2}\; = {R^2}\]
Mặt cầu có phương trình tổng quát\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\] có tâm\[I\left[ { - a; - b; - c} \right]\] và bán kính\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \]